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Lexikon der Mathematik: nichtarchimedischer Körper

ein geordneter Körper, dessen Ordnung nicht archimedisch ist, in dem es also unendlich kleine und unendlich große Elemente gibt, wie z. B. im Körper der NichtstandardZahlen.

Ein anderes Beispiel ist der Körper der rationalen Funktionen \({\mathbb{Q}}(t)\) in einer Variablen, versehen mit der folgenden Ordnung: Für \(f=\displaystyle\frac{p}{q}\in {\mathbb{Q}}(t)\) mit \begin{eqnarray}p=\sum _{i=0}^{m}{p}_{i}{t}^{i}\,\,,\quad\,q=\sum _{j=0}^{n}{q}_{j}{t}^{j},\end{eqnarray} wobei pm, qn ≠ 0 seien, definiert man \begin{eqnarray}f\gt 0\,\,:\iff \,{P}_{m}{q}_{n}\gt 0\end{eqnarray} und für \(f,g:\in {\mathbb{Q}}(t)\) damit \begin{eqnarray}f\lt g:\iff g-f\gt 0.\end{eqnarray}Dann ist \(t\in {\mathbb{Q}}(t)\) unendlich groß, und \(\frac{1}{t}\in {\mathbb{Q}}(t)\) ist unendlich klein, denn es gibt kein \(n\in {\mathbb{N}}\) mit \(n{1}_{{\mathbb{Q}}(t)}\gt t\) und kein \(n\in {\mathbb{N}}\,\text{mit}\frac{1}{n}{1}_{{\mathbb{Q}}(t)}\lt \frac{1}{t}.\)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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