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Lexikon der Mathematik: nichtentartete Bilinearform

eine Bilinearform, bei der es nur triviale vernullende Elemente gibt.

Es seien zwei reelle oder komplexe Vektorräume V und V+ gegeben, so daß jedem Paar (x, x+) ∈ V × V+ ein Skalar \(\langle x,{x}^{+}\rangle \) aus \({\mathbb{K}}={\mathbb{R}}\) bzw. \({\mathbb{K}}={\mathbb{C}}\) zugeordnet wird. Die Abbildung \((x,{x}^{+})\to \langle x,{x}^{+}\rangle \) sei eine Bilinearform, das heißt \begin{eqnarray}\begin{array}{c}\langle x+y,{x}^{+}\rangle =\langle x,{x}^{+}\rangle +\langle y,{x}^{+}\rangle, \\ \langle \lambda x,{x}^{+}\rangle =\lambda \langle x,{x}^{+}\rangle, \end{array}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\begin{array}{c}\langle x,{x}^{+}+{y}^{+}\rangle =\langle x,{x}^{+}\rangle +\langle x,{y}^{+}\rangle, \\ \langle x,\lambda {x}^{+}\rangle =\lambda \langle x,{x}^{+}\rangle, \end{array}\end{eqnarray} Die Bilinearform heißt nichtentartet, falls gelten: \begin{eqnarray}\{{x}^{+}\in {V}^{+}|\langle x,{x}^{+}\rangle =0\,\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\,x\in V\,\}=\{0\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\{x\in V\,|\,\langle x,{x}^{+}\rangle =0\,\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\,{x}^{+}\in {V}^{+}\,\}=\{0\}.\end{eqnarray} Die symmetrische Bilinearform \begin{eqnarray}A:{{\mathbb{K}}}^{n}\times {{\mathbb{K}}}^{n}\to {\mathbb{K}},\,\,\,({k}_{1},{k}_{2})\mapsto {k}_{1}^{t}A{k}_{2},\end{eqnarray} wobei A eine beliebige (n × n)-Matrix über \({\mathbb{K}}\) ist, ist genau dann nichtentartet, wenn A regulär ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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