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Lexikon der Mathematik: nichteuklidische Ebene

die offene Einheitskreisscheibe \({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\) zusammen mit der hyperbolischen Metrik \({[.,.]}_{{\mathbb{E}}}\) Der nichteuklidische Abstand zweier Punkte zi, \({z}_{1},{z}_{2}\in {\mathbb{E}}\) ist dann \({|{z}_{1},{z}_{2}|}_{{\mathbb{E}}}\). Weiter ist die nichteuklidische Länge oder hyperbolische Länge eines rektifizierbaren Weges \(\gamma :[0,1]\to {\mathbb{E}}\) definiert durch \begin{eqnarray}{L}_{h}(\gamma ):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\displaystyle\frac{|dz|}{1-{|z|}^{2}}.\end{eqnarray}

Diese Begriffe lassen sich wie folgt motivieren. Ist \(f\in \,\text{Aut}\,{\mathbb{E}}\)(Automorphismengruppe von \({\mathbb{E}}\)), so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle\frac{|{f}{^{\prime} }(z)|}{1-{|f(z)|}^{2}}=\displaystyle\frac{1}{1-{|z|}^{2}}.\end{eqnarray} Hieraus ergibt sich sofort folgender Satz.

Sind z1, \({z}_{1},{z}_{2},{w}_{1},{w}_{2}\in {\mathbb{E}}\) mit z1z2 und w1w2, so existiert ein \(f\in \,\text{Aut}\,{\mathbb{E}}\)mit f (z1) = w1und f (z2) = W2genau dann, wenn \begin{eqnarray}{[{z}_{1},{z}_{2}]}_{{\mathbb{E}}}={[{w}_{1},{w}_{2}]}_{{\mathbb{E}}}.\end{eqnarray}

Weiter gilt:

Es sei \(\gamma :[0,1]\to {\mathbb{E}}\)ein rektifizierbarer Weg und \(f:\in \,\text{Aut}\,{\mathbb{E}}\)Dann gilt Lh(f o γ) = Lh(γ).

Für den nichteuklidischen Abstand gilt die explizite Formel \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{[{z}_{1},{z}_{2}]}_{{\mathbb{E}}} & = & \displaystyle\frac{1}{2}\, \mathrm{log}\,\displaystyle\frac{|1-{\bar{z}}_{1}{z}_{2}|+|{z}_{1}-{z}_{2}|}{|1-{\bar{z}}_{1}{z}_{2}|-|{z}_{1}-{z}_{2}|}\\ & = & \text{artanh}\left|\displaystyle\frac{{z}_{1}-{z}_{2}}{1-{\bar{z}}_{1}{z}_{2}}\right|,{z}_{1}-{z}_{2}\in {\mathbb{E}}\end{array}\end{eqnarray}

Unter einem Orthokreis in \({\mathbb{E}}\) versteht man einen Durchmesser von \({\mathbb{E}}\) oder einen Kreisbogen in \({\mathbb{E}}\), der zwei Randpunkte \(a,b,\in \partial {\mathbb{E}}\) miteinander verbindet und die Einheitskreislinie senkrecht schneidet.

Damit gilt folgender Satz.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel nichteuklidische Ebene
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Orthokreis

Die kürzeste nichteuklidische Verbindung zweier verschiedener Punkte \({z}_{1},{z}_{2}\in {\mathbb{E}}\)wird durch den zwischen z1und z2verlaufenden Bogen des durch z1und z2gehenden Ortho kreises gegeben. Die geodätischen Linien der hyperbolischen Metrik sind also die Orthokreise.

Aufgrund dieses Ergebnisses nennt man Orthokreise auch nichteuklidische Geraden und Ortho kreisbögen nichteuklidische Strecken in \({\mathbb{E}}\). Ein Automorphismus von \({\mathbb{E}}\) heißt auch nichteuklidische Bewegung. Für weitere Ausführungen zu dieser Thematik vgl. nichteuklidische Geometrie.

Abschließend sei noch folgender Satz erwähnt.

Es sei f eine holomorphe Funktion in \({\mathbb{E}}\)mit \(f({\mathbb{E}})\subset {\mathbb{E}}.\)Dann gilt \begin{eqnarray}{[f({z}_{1}),f({z}_{2})]}_{{\mathbb{E}}}\le {[{z}_{1},{z}_{2}]}_{{\mathbb{E}}}\end{eqnarray}für alle \({z}_{1},{z}_{2}\in {\mathbb{E}}.\)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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