Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Nichtkompaktheitsmaß

Konzept zur Bestimmung des Ausmaßes, in welchem eine Teilmenge eines metrischen Raums relativ kompakt ist.

Sei (M, d) ein metrischer Raum. Das Kuratowskische Nichtkompaktheitsmaß χ(B) einer beschränkten Teilmenge BM ist das Infimum aller ε so, daß B durch endlich viele Mengen vom Durchmesser ≤ ε überdeckt werden kann. Das Hausdorffsche Nichtkompaktheitsmaß α(B) einer beschränkten Teilmenge BM ist das Infimum aller ε so daß B durch endlich viele Kugeln vom Radius ≤ überdeckt werden kann.

Es gilt stets \begin{eqnarray}\alpha (B)\le \chi (B)\le 2\alpha (B),\end{eqnarray} und ist M vollständig, so ist B genau dann relativ kompakt, wenn α(B) = 0 bzw. χ(B) = 0 ist.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos