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Lexikon der Mathematik: Nichtstandard-Approximationen der Diracschen δ-Distribution

interne Funktionen (Nichtstan-dard-Analysis) ∧ : ℝ → ℝ, welche die Diracsche δ-Distribution δ bis auf infinitesimale Abweichungen approximieren.

Sei δ : C(ℝ) → ℝ, mit \(C({\mathbb{R}})\,{\unicode {8717}}\,f\mathop{\to }\limits^{\delta }f(0)\in {\mathbb{R}}\), wobei C(ℝ) die Menge der stetigen Funktionen f : ℝ → ℝ bezeichnet. Eine naheliegende interne Funktion ∧ : ℝ* → ℝ*, welche das leistet, ist durch \begin{eqnarray}\Lambda (x)=\left\{\begin{array}{lll}0 &, & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\ & \varepsilon \le |x|\\ \frac{\varepsilon \le |x||}{{\varepsilon }^{2}} &, & \mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\ & |x|\lt \varepsilon \end{array}\right.\end{eqnarray} für ein vorgegebenes festes infinitesimales ε > 0gegeben. Damit gilt nämlich \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{\infty }}\limits_{-\infty }f(x)\Lambda (x)dx {\unicode {x0007E;}} f(0)=\delta (f)\end{eqnarray} für alle fC(ℝ).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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