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Lexikon der Mathematik: Nichtstandard-Funktionalanalysis

Formulie-rung der Funktionalanalysis mit Methoden der Nichtstandard-Analysis.

Man setzt hierbei von vorneherein eine Ver-größerung V(ℝ*) ⊃ V(ℝ) voraus. Es folgt dann, daß jeder unendlichdimensionale Vektorraum U aus V(ℝ) externer Unterraum eines internen *-endlichdimensionalen Vektorraumes F ist mit UFU*. Die *-endliche Dimension von F wirkt wie eine endliche Dimension und vereinfacht die Argumentationen bzgl. U.

So wurde der folgende, zuerst von Smith und Halmos vermutete Satz, von Bernstein und Robinson 1966 mit diesen Methoden bewiesen, bevor ein Beweis ohne Nichtstandard-Methoden bekannt war:

Jeder beschränkte Operator T : HH über einem Hilbertraum H so, daß p(T) kompakt ist für ein geeignetes Polynom p(z) ≠ 0 mit komplexen Koeffizienten, läßt einen abgeschlossenen linearen Teilraum EH mit {0} ≠ EH invariant.

[1] Albeverio, S.; Fenstad, J.E.; H0egh-Krohn, R.; Lindstrom, T.: Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics. Academic Press, Orlando, 1986.
[2] Robinson, A.: Non-Standard Analysis. North-Holland Publishing Company Amsterdam, 1966.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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