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Lexikon der Mathematik: Nichtstandard-Topologie

Formulierung derTopologie mit Hilfe der Nichtstandard-Analy-sis.

Dazu werden die zu untersuchenden topologischen Räume (X, τ) (wobei τ die Familie der offe-nen Teilmengen von X ist) in eine geeignete Super-struktur V(S) als interne Teilmengen eingebettet

In einer Nichtstandard-Erweiterung V(S*) ⊃ V(S) werden nun die Nichtstandardmodelle (X, τ)* ⊃(X, τ) untersucht. Dabei ergibt sich in Analogie zu X = ℝ der Begriff der Monade \( {\mathcal M} \) von xX, per Definition als \begin{eqnarray} {\mathcal M} (x):=\mathop{\bigcap {_{x\in {\mathcal{O}}\in \tau }}}{\mathcal{O}}^*.\end{eqnarray}

Wie im Falle der Funktionen über R läßt sich nundie Stetigkeit folgendermaßen charakterisieren:

Eine Funktion f : XY aus V(S) ist genaudann stetig in aX, wenn das f*-Bild der Monade \( {\mathcal M} (a)\)von a in der Monade \( {\mathcal M} (f(a))\)von f(a) ∈ Y liegt, d. h. es gilt \({f}^{* }[ {\mathcal M} (a)]\subseteq {\mathcal M} (f(a))\).

Wenn (X, τ) ∈ V(S) ⊂ V(S*) und V(S*) polysaturiert ist, dann können die offenen, abgeschlossenenund kompakten Mengen folgendermaßen charakterisiert werden:

  • AX ist offen genau dann, wenn für alle aA gilt: \( {\mathcal M} (a)\subset {A}^{* }\).
  • AX ist abgeschlossen genau dann, wenn füralle xA*, welche in der Monade \( {\mathcal M} (a)\)eines Standard-Punktes aX liegen, gilt: aA.
  • AX ist kompakt genau dann, wenn alle xA* in der Monade \( {\mathcal M} (a)\)eines passenden Standard-Punktes aA liegen.

Im selben Rahmen läßt sich auch die Vervollständigung von metrischen Räumen \((X,\varrho :X\times X\to {\mathbb{R}})\) in V(S) beschreiben. Dazu sei \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{\mathcal{W}}:= & \{\omega \in X^* |(\forall \,\text{standard}\,\varepsilon \gt 0)\\ & (\exists \,\text{standard}\,x\in X)(\varrho * (\omega, x)\lt \varepsilon )\}\end{array}\end{eqnarray} die externe Menge der Elemente w in X*, die innerhalb jedes positiven Standard-ε-Abstands Standard-Elemente x* mit xXX* vorfinden. Die Äquivalenzrelation xy, die durch ϱ* (x, y) ~ 0 definiert ist, induziert die Quotientenmenge \({\mathcal{W}}/\approx \), welche die Metrik \begin{eqnarray}({\mathcal{W}}/\approx )\times ({\mathcal{W}}/\approx )\mathop{\to }\limits^{\varrho * /\approx }E\mathop{\to }\limits^{st}{\mathbb{R}}\end{eqnarray} zuläßt. Dabei ist E die Teilmenge der endlichen reellen Nichtstandard-Zahlen und ϱ* / ≈ die Abbildung, welche die \({\mathcal{W}}\)-Einschränkung von ϱ* auf den Äquivalenzklassen bzgl. ≈ induziert. Es gilt nun der Satz:

\(({\mathcal{W}}/\approx, st\circ ({\varrho }^{* }/\approx ))\supseteq (X,\varrho )\)ist die bis auf Isometrie eindeutig bestimmte Vervollständigung von (X, ϱ).

[1] Cutland, N.(Hrsg.): Nonstandard Analysis and its Applications. Cambridge University Press Cambridge UK, 1988.
[2] Landers, D.; Rogge, L.: Nichtstandard Analysis. Springer Verlag Berlin, 1994.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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