Formulierung derTopologie mit Hilfe der Nichtstandard-Analy-sis.

Dazu werden die zu untersuchenden topologischen Räume (X, τ) (wobei τ die Familie der offe-nen Teilmengen von X ist) in eine geeignete Super-struktur V(S) als interne Teilmengen eingebettet

In einer Nichtstandard-Erweiterung V(S^*) ⊃ V(S) werden nun die Nichtstandardmodelle (X, τ)^* ⊃(X, τ) untersucht. Dabei ergibt sich in Analogie zu X = ℝ der Begriff der Monade \( {\mathcal M} \) von x ∈ X, per Definition als \begin{eqnarray} {\mathcal M} (x):=\mathop{\bigcap {_{x\in {\mathcal{O}}\in \tau }}}{\mathcal{O}}^*.\end{eqnarray}

Wie im Falle der Funktionen über R läßt sich nundie Stetigkeit folgendermaßen charakterisieren:

Eine Funktion f : X → Y aus V(S) ist genaudann stetig in a ∈ X, wenn das f^*-Bild der Monade \( {\mathcal M} (a)\)von a in der Monade \( {\mathcal M} (f(a))\)von f(a) ∈ Y liegt, d. h. es gilt \({f}^{* }[ {\mathcal M} (a)]\subseteq {\mathcal M} (f(a))\).

Wenn (X, τ) ∈ V(S) ⊂ V(S^*) und V(S^*) polysaturiert ist, dann können die offenen, abgeschlossenenund kompakten Mengen folgendermaßen charakterisiert werden:

• A ⊆ X ist offen genau dann, wenn für alle a ∈ A gilt: \( {\mathcal M} (a)\subset {A}^{* }\).
• A ⊆ X ist abgeschlossen genau dann, wenn füralle x ∈ A^*, welche in der Monade \( {\mathcal M} (a)\)eines Standard-Punktes a ∈ X liegen, gilt: a ∈ A.
• A ⊆ X ist kompakt genau dann, wenn alle x ∈ A^* in der Monade \( {\mathcal M} (a)\)eines passenden Standard-Punktes a ∈ A liegen.

Im selben Rahmen läßt sich auch die Vervollständigung von metrischen Räumen \((X,\varrho :X\times X\to {\mathbb{R}})\) in V(S) beschreiben. Dazu sei \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{\mathcal{W}}:= & \{\omega \in X^* |(\forall \,\text{standard}\,\varepsilon \gt 0)\\ & (\exists \,\text{standard}\,x\in X)(\varrho * (\omega, x)\lt \varepsilon )\}\end{array}\end{eqnarray} die externe Menge der Elemente w in X^*, die innerhalb jedes positiven Standard-ε-Abstands Standard-Elemente x^* mit x ∈ X ⊂ X^* vorfinden. Die Äquivalenzrelation x ≈ y, die durch ϱ^* (x, y) ~ 0 definiert ist, induziert die Quotientenmenge \({\mathcal{W}}/\approx \), welche die Metrik \begin{eqnarray}({\mathcal{W}}/\approx )\times ({\mathcal{W}}/\approx )\mathop{\to }\limits^{\varrho * /\approx }E\mathop{\to }\limits^{st}{\mathbb{R}}\end{eqnarray} zuläßt. Dabei ist E die Teilmenge der endlichen reellen Nichtstandard-Zahlen und ϱ^* / ≈ die Abbildung, welche die \({\mathcal{W}}\)-Einschränkung von ϱ^* auf den Äquivalenzklassen bzgl. ≈ induziert. Es gilt nun der Satz:

\(({\mathcal{W}}/\approx, st\circ ({\varrho }^{* }/\approx ))\supseteq (X,\varrho )\)ist die bis auf Isometrie eindeutig bestimmte Vervollständigung von (X, ϱ).

[1] Cutland, N.(Hrsg.): Nonstandard Analysis and its Applications. Cambridge University Press Cambridge UK, 1988.
[2] Landers, D.; Rogge, L.: Nichtstandard Analysis. Springer Verlag Berlin, 1994.