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Lexikon der Mathematik: Nilradikal

Erweiterung des Begriffes Radikal von Ringen auf Garben von Ringen.

Ist \({\mathfrak{a}}\) ein Ideal im Ring R, dann heißt \begin{eqnarray}\sqrt{a}:=\{r\in R,\exists j\in {\mathbb{N}}\}\text{mit }{r}^{j}\in a\}\end{eqnarray} das Radikal von \({\mathfrak{a}}\) in R; es ist ein Ideal. Das Radikal \({{\mathfrak{n}}}_{R}:=\sqrt{0}\) heißt Nilradikal von R, da es aus den nilpotenten Elementen besteht. Ist \({{\mathfrak{n}}}_{R}=(0)\), dann heißt R algebraisch reduziert; dies gilt immer für \(R/{{\mathfrak{n}}}_{R}\).

Dieses Konzept kann erweitert werden auf Garben von Idealen \( {\mathcal I} \) in Garben von Ringen \( {\mathcal R} \). Es gilt dann \(\sqrt{{ {\mathcal I} }_{t}}={(\sqrt{ {\mathcal I} })}_{t}\).

Sei \((T,{\mathcal{A}})\) ein geringter Raum; da die Garbe \({T}^{{\mathcal{C}}}\) der stetigen Funktionen keine nilpotenten Elemente besitzt, liegt das \({\mathcal{A}}\)-Ideal \({T}^{{\mathcal{N}}}\) der nilpotenten Elemente in \({\mathcal{A}}\) immer im Kern von RedT. \((T,{\mathcal{A}}{/}_{T}{\mathcal{N}})\) ist auch ein geringter Raum, genannt die algebraische Reduktion von \((T,{\mathcal{A}})\). Für komplexe Räume stimmt die algebraische Reduktion mit der Reduktion überein.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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