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Lexikon der Mathematik: Noether-Normalisierung

eine spezielle Darstellung eines Faktorrings eines Polynomrings bzw. einer analytischen Algebra.

Sei 𝕂 ein Körper und I ⊆ 𝕂[x1,…,xn] ein Ideal. Dann gibt es einen Automorphismus \begin{eqnarray}\varphi :{\mathbb{K}}[{x}_{1},\ldots, {x}_{n}]\to {\mathbb{K}}[{x}_{1},\ldots {x}_{n}]\end{eqnarray} und ein k ≥ 0 so, daß die kanonische Abbildung \begin{eqnarray}{\mathbb{K}}[{x}_{1},\ldots, {x}_{n}]\to k[{x}_{1},\ldots {x}_{n}]/\varphi (I)\end{eqnarray} injektiv und 𝕂[x1,…,xn]/φ(I) ein endlich erzeugter 𝕂[x1,…,xk]-Modul ist. Man sagt, \begin{eqnarray}{\mathbb{K}}[{x}_{1},\ldots, {x}_{n}]\to {\mathbb{K}}[{x}_{1},\ldots {x}_{n}]/\varphi (I)\end{eqnarray} sei eine Noether-Normalisierung.

Fast alle Automorphismen liefern eine Noether–Normalisierung. Wenn der Körper 𝕂 unendlich viele Elemente enthält, dann kann φ als lineare Koordinatentransformation gewählt werden, d. h. \begin{eqnarray}\varphi ({x}_{1},\ldots, {x}_{n})=A\left(\begin{array}{c}{x}_{1}\\ \vdots \\ {x}_{n}\end{array}\right)\end{eqnarray} mit einer invertierbaren Matrix A aus GL(n, 𝕂). So ist zum Beispiel \begin{eqnarray}{\mathbb{K}}[y]\subset {\mathbb{K}}[x,y]/(x\cdot y)\end{eqnarray} keine Noether-Normalisierung. Wählen wir φ(x, y) = (x, y + x), dann ist φ((x · y)) = (x2 + xy), und \begin{eqnarray}{\mathbb{K}}[y]\subset {\mathbb{K}}[x,y]/({x}^{2}+xy)\end{eqnarray} ist eine Noether-Normalisierung. 𝕂[x, y]/(x2 + xy) ist als 𝕂[y]–Modul erzeugt durch 1 und x.

Für analytische Algebren ist die Noether–Normalisierung analog definiert, und es gelten analoge Aussagen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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