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Lexikon der Mathematik: Norm

eine Abbildung x ↦ ||x|| ∈ [0, ∞) auf einem reellen oder komplexen Vektorraum X mit folgenden Eigenschaften:

  1. ||x|| = 0 genau dann, wenn x = 0.
  2. Für alle xX und alle Skalare λ gilt \(\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert\).
  3. Es gilt die Dreiecksungleichung \begin{eqnarray}\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert\quad \forall x,y\in X.\end{eqnarray}.
Ein mit einer Norm ||.|| versehener reeller oder komplexer Vektorraum X heißt normierter Raum. Ein normierter Raum wird mittels der Metrik \begin{eqnarray}d(x,y)=\Vert x-y\Vert \end{eqnarray} auf kanonische Weise zu einem metrischen Raum; ist dieser vollständig, heißt X ein Banachraum.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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