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Lexikon der Mathematik: Normalbereiche

Teilmengen M des ℝn, die wie folgt rekursiv definiert sind: \begin{eqnarray}n=1:M=[\alpha, \beta ]\,\text{mit}-\infty \lt \alpha \lt \beta \lt \infty.\end{eqnarray}n > 1: Es existieren ein Normalbereich N im ℝn−1 und stetige Funktionen φ, ψ : N → ℝ mit φψ so, daß \begin{eqnarray}M=\{({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\in {{\mathbb{R}}}^{n}\,|\,y:=({x}_{1},\cdots, {x}_{n-1})\in N\wedge \varphi (y)\le {x}_{n}\le \psi (y)\}.\end{eqnarray} Präziser müßte man also „(x1,…,xn)-Normalbereich“ sagen.

Zur Erläuterung ein einfaches Beispiel: Es sei n = 3 und ℝ ∋ r > 0, sowie \begin{eqnarray}K:=\{(x,y,z)\in {{\mathbb{R}}}^{3}|{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\le {r}^{2}\}\end{eqnarray} eine Kugel. Wir setzen K1 := [−r, r], \begin{eqnarray}{K}_{2}:=\{(x,y)\in {{\mathbb{R}}}^{2}|x\in {K}_{1}\wedge {\varphi }_{1}(x)\le y\le {\psi }_{1}(x)\}\end{eqnarray} mit \({\varphi }_{1}(x):=-\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}},{\psi }_{1}(x):=\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}\), und \begin{eqnarray}{K}_{3}=\{(x,y,z)\in {{\mathbb{R}}}^{3}|(x,y)\in {K}_{2}\wedge {\varphi }_{2}(x)\le z\le {\psi }_{2}(x,y)\}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}{\varphi }_{2}(x,y):=-\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\psi }_{2}(x,y):=\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}.\end{eqnarray} Die Kugel ist also hier als (x, y, z)-Normalbereich beschrieben.

Ein Normalbereich im ℝn ist kompakt und Jordan-meßbar. Über Normalbereiche gelingt in vielen Fällen die Berechnung mehrdimensionaler Integrale durch eindimensionale Integrationen, z. B.:

Es seien M ein Normalbereich im ℝ2, f : ℝ2 → ℝ mit \begin{eqnarray}Trf(:=\{(x,y)\in {{\mathbb{R}}}^{2}|f(x,y)\ne 0\})\subset M\end{eqnarray} und f/M stetig. Dann gilt \begin{eqnarray}\mathop{\iint }\limits_{M}f(x,y)d(x,y)=\mathop{\mathop{\int }\limits^{\beta }}\limits_{\alpha }\left(\mathop{\mathop{\int }\limits^{\psi (x)}}\limits_{\varphi (x)}f(x,y)dy\right)dx.\end{eqnarray} (Dabei seien α, β, φ, ψ gemäß obiger Definitioneines Normalbereiches gewählt.)

Vor der Notierung des allgemeinen Falls auchdazu ein einfaches Beispiel:

Sei \begin{eqnarray}M:=\{(x,y)\in {{\mathbb{R}}}^{2}|0\le x\le 2\wedge 0\le y\le {x}^{2}\}\end{eqnarray} und f(x, y) := x2 + y2 für ((x, y) ∈ M). Dann ist \begin{eqnarray}\begin{array}{ll} & \mathop{\displaystyle \int }\limits_{M}f(x,y)d(x,y)=\underset{0}{\overset{2}{\displaystyle \int }}\left(\underset{0}{\overset{{x}^{2}}{\displaystyle \int }}({x}^{2}+{y}^{2})dy\right)dx\\ = & \underset{0}{\overset{2}{\displaystyle \int }}({x}^{2}y+\frac{1}{3}{y}^{3}){|}_{0}^{{x}^{2}}dx=\underset{0}{\overset{2}{\displaystyle \int }}({x}^{4}+\frac{1}{3}{x}^{6})dx\\ = & \frac{{x}^{5}}{5}+\frac{{x}^{7}}{21}{|}_{0}^{2}={x}^{5}\left(\frac{1}{5}+\frac{{x}^{2}}{21}\right){\left|\right.}_{0}^{2}=\frac{1312}{105}.\end{array}\end{eqnarray}M ist auch als (y, x)-Normalbereich beschreibbar; dies führt zur alternativen Berechnung \begin{eqnarray}\mathop{\int }\limits_{M}f(x,y)d(x,y)=\mathop{\mathop{\int }\limits^{4}}\limits_{0}\left(\mathop{\mathop{\int }\limits^{2}}\limits_{\sqrt{y}}f(x,y)dx\right)dy=\cdots.\end{eqnarray} Es gilt folgender Satz über Integration stetiger Funktionen auf Normalbereichen:

Für n ≥ 2 seien M Normalbereich imn, und dazu N, φ, ψ gemäß obiger Definition eines Normalbereiches, sowie f : ℝn → ℝ mit TrfM und f/M stetig.

Für \begin{eqnarray}{{\mathbb{R}}}^{n}\,{\unicode {8717}}\,x=({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\end{eqnarray}sei y := (x1,…, xn−1), also x = (y, xn), bezeichnet. \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Dann\,\,ist & \mathop{\displaystyle\int }\limits_{M}f(x)dx=\mathop{\displaystyle\int }\limits_{N}\left(\mathop{\mathop{\displaystyle\int }\limits^{\psi (y)}}\limits_{\varphi (y)}f(y,{x}_{n})d{x}_{n}\right)dy.\end{array}\end{eqnarray}

Oft tritt die Situation auf, daß die gegebene Menge zwar selbst nicht Normalbereich ist, aber in endlich viele Normalbereiche zerlegt werden, und so ein entsprechendes Integral dennoch über diesen Satz berechnet werden kann.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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