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Lexikon der Mathematik: normale Familie

normale Funktionenfamilie, eine Menge \( {\mathcal F} \) von holomorphen Funktionen in einer offenen Menge D ⊂ ℂ mit folgender Eigenschaft: Jede Folge (fn) in \( {\mathcal F} \) besitzt eine Teilfolge (fnk), die in D kompakt konvergent ist.

Die Grenzfunktion f von (fnk) ist dann holomorph in D, sie muß im allgemeinen aber nicht zu \( {\mathcal F} \) gehören.

Die Normalität einer Funktionenfamilie \( {\mathcal F} \) ist eine lokale Eigenschaft. Dazu nennt man \( {\mathcal F} \) normal an z0D, falls \( {\mathcal F} \) in einer offenen Umgebung von z0 normal ist. Damit gilt folgender Satz.

Eine Familie \( {\mathcal F} \)holomorpher Funktionen in D ist normal in D genau dann, wenn \( {\mathcal F} \)an jedem Punkt z0D normal ist.

Ein wichtes Kriterium für Normalität liefert der Satz von Montel (Montel, Satz von).

Eine Familie \( {\mathcal F} \) holomorpher Funktionen in D heißt normal in D im erweiterten Sinne, falls jede Folge (fn) in \( {\mathcal F} \) eine Teilfolge (fnk) besitzt, die in D kompakt gegen eine in D holomorphe Funktion f konvergiert oder in D kompakt gegen ∞ konvergiert, d. h., zu jeder kompakten Menge KD und jedem M > 0 gibt es ein N = N(K, M) ∈ ℕ mit |fnk (z)| ≥ M für alle kN und alle zK.

Einige Beispiele:

  1. Es sei \( {\mathcal F} :=\{{f}_{n}:n\in {\mathbb{N}}\}\) mit fn(z) := zn. Dann ist \( {\mathcal F} \) ist normal in ℂ = {z ∈ ℂ : |z| < 1} und normal im erweiterten Sinne in \({\mathbb{C}}\backslash \bar{{\mathbb{E}}}\).
  2. Es sei \( {\mathcal F} :=\{{f}_{n}:n\in {\mathbb{N}}\}\) mit fn(z) := n. Dann ist \( {\mathcal F} \) normal im erweiterten Sinne in ℂ.
  3. Es sei \( {\mathcal F} :=\{{f}_{n}:n\in {\mathbb{N}}\}\) mit fn(z) := nz. Dann ist \( {\mathcal F} \) normal im erweiterten Sinne in ℂ \ {0}.
  4. Es sei \( {\mathcal F} :=\{{f}_{n}:n\in {\mathbb{N}}\}\) mit \({f}_{n}(z):=\frac{z}{n}\). Dann ist \( {\mathcal F} \) normal in ℂ.
  5. Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge, M > 0, und \( {\mathcal F} \) die Menge aller in D holomorphen Funktionen mit |f(z)| ≤ M für alle zD. Dann ist \( {\mathcal F} \) normal D.
  6. Es sei \( {\mathcal F} \) eine Menge holomorpher Funktionen in ℂ, und für \(f\in {\mathcal F} \) sei \begin{eqnarray}f(z)=\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=0}{a}_{n}(f){z}^{n}\end{eqnarray} die Taylor-Reihe von f um 0. Dann gilt: \( {\mathcal F} \) ist normal in ℂ genau dann, wenn es eine Folge (Mn) positiver Zahlen gibt mit \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}\sup }\limits_{n\to \infty }{M}_{n}^{1/n}\le 1\end{eqnarray} und |an(f)| ≤ Mn für alle n ∈ ℕ0 und alle \(f\in {\mathcal F} \).
  7. Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, M > 0, und \( {\mathcal F} \) die Familie aller holomorphen Funktionen in G derart, daß \begin{eqnarray}\mathop{\iint }\limits_{G}|f(z){|}^{2}dxdy\le M.\end{eqnarray}
Dann ist \( {\mathcal F} \) normal in G.

Eine Familie \( {\mathcal F} \) meromorpher Funktionen in D heißt normal in D, falls jede Folge (fn) in \( {\mathcal F} \) eine Teilfolge (fnk) besitzt, die in D kompakt konvergent ist. Hierbei ist fn als stetige Funktion \({f}_{n}:D\to \hat{{\mathbb{C}}}\) aufzufassen, und die Konvergenz von (fnk) ist bezüglich der chordalen Metrik auf \(\hat{{\mathbb{C}}}\) zu verstehen.

Die Grenzfunktion f von (fnk) ist dann meromorph in D oder f(z) ≡ ∞; sie muß im allgemeinen aber nicht zu \( {\mathcal F} \) gehören. Ein wichtiges Kriterium für Normalität einer Familie meromorpher Funktionen liefert der Satz von Marty (Marty, Satz von).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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