Eigenschaft einer Funktionenreihe.

Es sei (f_n) eine Folge von Funktionen f_n: D → ℂ in einer offenen Menge D ⊂ ℂ. Dann heißt die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{n}\) normal konvergent in D, falls die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }|{f}_{n}|\) kompakt konvergent in D ist. Jede D normal konvergente Funktionenreihe ist also insbesondere kompakt konvergent in D.

Ist jede der Funktionen f_n stetig in D, so ist auch die Grenzfunktion f der Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{n}\) stetig in D. Ebenso ist f eine in D holomorphe Funktion, sofern jedes f_n holomorph in D ist.

Für normal konvergente Reihen gilt folgender Umordnungssatz.

Es sei \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{n}\)eine Reihe, die in D normal konvergent gegen f ist, und τ : ℕ → ℕ eine bijektive Abbildung. Dann ist auch die umgeordnete Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{\tau (n)}\)normal konvergent in D gegen f.

Sind \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{n}\) und \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{g}_{n}\) normal konvergente Reihen in D mit Grenzfunktionen f und g, so ist offensichtlich die Summenreihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }({f}_{n}+{g}_{n})\) normal konvergent in D gegen f + g. Weiter gilt folgender Reihenproduktsatz.

Es seien \(\displaystyle {\sum }_{m=1}^{\infty }{f}_{m}\)und \(\displaystyle {\sum }_{m=1}^{\infty }{g}_{n}\)normal konvergente Reihen in D mit Grenzfunktionen f und g. Dann ist jede Produktreihe \(\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{h}_{k}\), wobei die Folge (h_k) alle Produkte f_mg_n genau einmal in beliebiger Reihenfolge durchläuft, normal konvergent in D gegen fg.

Die normale Konvergenz spielt auch für Reihen meromorpher Funktionen eine wichtige Rolle. Dazu sei (f_n) eine Folge meromorpher Funktionen in D. Die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_{n}\) heißt normal konvergent in D, falls zu jeder kompakten Menge K ⊂ D ein Index m = m(K) ∈ ℕ existiert derart, daß die Polstellenmengen P(f_n) für n ≥ m disjunkt zu K sind und die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=m}^{\infty }|{f}_{n}|\) auf K gleichmäßig konvergent ist. Nun gilt folgender Konvergenzsatz.

Es sei \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{n}\)eine normal konvergente Reihe meromorpher Funktionen in D. Dann existiert genau eine in D meromorphe Funktion f mit folgender Eigenschaft: Ist U ⊂ D eine offene Menge und m ∈ ℕ ein Index derart, daß keine Funktion f_n für n ≥ m eine Polstelle in U hat, so konvergiert die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=m}^{\infty }{f}_{n}|U\)von in U holomorphen Funktionen normal in U gegen eine in U holomorphe Funktion F, und es gilt \begin{eqnarray}f(z)={f}_{1}(z)+\cdots +{f}_{m-1}(z)+F(z)\end{eqnarray}

für alle z ∈ U. Für die Polstellenmenge von f gilt \begin{eqnarray}P(f)\subset \displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\bigcup }}P({f}_{n}).\end{eqnarray}

Die obigen Ergebnisse über Umordnung und Summe von Reihen gelten entsprechend auch für normal konvergente Reihen meromorpher Funktionen.

Die Reihen \begin{eqnarray}\begin{array}{c}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{z+n}-\frac{1}{n}\right),\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{z-n}+\frac{1}{n}\right),\\ \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(z+n)}^{k}},\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{{(z-n)}^{k}},k\ge 2\end{array}\end{eqnarray}

sind beispielsweise normal konvergent in ℂ.