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Lexikon der Mathematik: normale Matrix

eine quadratische Matrix A über ℂ, für die gilt: \begin{eqnarray}AA^* =A^*A,\end{eqnarray}

wobei A die zu A adjungierte Matrix bezeichnet.

Orthogonale, symmetrische, schiefsymmetrische, unitäre und Hermitesche Matrizen sind normal; mit A sind auch αA und αI + A normal. Eine komplexe Matrix ist genau dann normal, wenn sie durch eine unitäre Matrix diagonalisierbar ist. Beispiel: Eine reelle (2×2)-Matrix ist genau dann normal, wenn sie von der Form \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc}a & b\\ b & d\end{array}\right)\end{eqnarray}

oder \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc}a & b\\-b & d\end{array}\right)\end{eqnarray}

ist.

Entsprechend heißt ein Endomorphismus ϕ : VV auf einem euklidischen oder unitären Vektorraum V normal, wenn gilt: \begin{eqnarray}\varphi \varphi^* =\varphi^* \varphi.\end{eqnarray}

Ein Endomorphismus ϕ : VV auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V ist genau dann normal, wenn er bezüglich einer Orthonormalbasis von V durch eine normale Matrix reprä-sentiert wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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