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Lexikon der Mathematik: normale Zahl

eine Zahl x ∈ [0, 1) mit der Eigenschaft, daß in ihrer b-adischen Entwicklung x = 0, x1x2 … zur Basis b ≥ 2 mit xi ∈ {0, 1, …, b − 1} für alle i ∈ ℕ jede der Ziffern 0, 1, …, b − 1 mit der asymptotischen relativen Häufigkeit \(\frac{1}{b}\) vorkommt.

Eine Zahl x = 0, x1x2 … ist also normal zur Basis b oder kürzer ausgedrückt b-normal, wenn für alle a ∈ {0, 1, …, b − 1} gilt \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{1}_{\{a\}}({x}_{i})=\frac{1}{b},\end{eqnarray}

wobei 1{a} die Indikatorfunktion von {a} bezeichnet.

Die Zahl x ∈ [0, 1) heißt absolut normal, wenn sie für jede natürliche Zahl b ≥ 2 normal zur Basis b ist. Nach einem Satz von E. Borel sind bezüglich des Lebesgue-Maßes auf [0, 1) fast alle Zahlen normal zur Basis 2.

Man kann weiterhin zeigen, daß für eine beliebige Basis b ≥ 2 fast alle Zahlen aus [0, 1) normal zur Basis b und folglich auch fast alle Zahlen im Intervall [0, 1) absolut normal sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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