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Lexikon der Mathematik: Normalenkegel

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Sei YX abgeschlossenes Unterschema eines Schemas X, I ⊂ 𝒪X die zugehörige Idealgarbe, und \begin{eqnarray}g{r}_{I}({{\mathcal{O}}}_{X})={{\mathcal{O}}}_{Y}\oplus I/{I}^{2}\oplus {I}^{2}/{I}^{3}\oplus \cdots \end{eqnarray}

die zugehörige Garbe von graduierten 𝒪Y-Algebren.

Das zugehörige relative Spektrum \begin{eqnarray}{C}_{Y/X}=Spec(g{r}_{I}({{\mathcal{O}}}_{X}))\to Y\end{eqnarray}

heißt dann der Normalenkegel von Y in X. Der natürlichen Surjektion der symmetrischen Algebra von I/I2 über 𝒪Y auf grI(𝒪X) entspricht eine abgeschlossene Einbettung CY/X ⊆ \({\mathcal{N}}\)Y/X in das Normalenbündel.

Man hat eine natürliche Faserung \begin{eqnarray}{C}_{Y/X}^{0}={C}_{Y/X}\backslash V(g{r}_{I}^{+}(Y))\to E=\text{Proj}(g{r}_{I}({{\mathcal{O}}}_{X}))\end{eqnarray}

(mit Faser Gm = Gl1), E ist der exzeptionelle Divisor in der Aufblasung \(\tilde{X}\to X\) von X längs Y. Letzteres folgt aus der Konstruktion der Aufblasung und dem natürlichen Isomorphismus \begin{eqnarray}{\mathcal{S}}{\otimes }_{{{\mathcal{O}}}_{X}}{{\mathcal{O}}}_{Y}\simeq g{r}_{I}({{\mathcal{O}}}_{X})\end{eqnarray}

für die Algebra \begin{eqnarray}{\mathcal{S}}={{\mathcal{O}}}_{X}\oplus I\oplus {I}^{2}\oplus \cdots.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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