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Lexikon der Mathematik: Normalform eines Polynoms

für ein Polynom f bezüglich einer geordneten Menge S = {f1, …, fm} von Polynomen aus 𝕂[x1, …, xn] (dem Polynomenring in x1, …, xn über dem Körper 𝕂) der Rest r bezüglich der im folgenden beschriebenen Division von f durch die Elemente von S:

Sei < eine Monomenordnung für Polynome f, g, sei L(f) das Leitmonom von f und C(f) der Leitkoeffizient von f, sowie \begin{eqnarray}\text{Tail}(f)=f-C(f)L(f).\end{eqnarray}

Mit spoly(f, g) bezeichnen wir das spolynom von f und g.

r = NF(f |S)

Input: f ein Polynom, S eine Menge von Polynomen.

Output: r ein Polynom, die Normalform von f bezüglich S

r = f

while there exist gS such that L(g)|L(r) choose such g

r = spoly(r, g)

r = C(r)L(r) + NF(Tail(r)|S)

return(r)

Weil die Monomenordnung eine Wohlordnung ist, terminiert die Normalform, und man hat eine Darstellung \begin{eqnarray}f=\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\xi }_{i}{f}_{i}+r,\end{eqnarray}

wobei kein Monom, das in r verkommt, durch ein L(fi) teilbar ist.

Ist I ein Ideal und sind S, T zwei Gröbner-Basen von I, dann gilt für jedes f \begin{eqnarray}\text{NF}(f|S)=\text{NF}(f|T),\end{eqnarray}

und man definiert NF(f |I), die Normalform von f bezüglich I, durch NF(f |S), die Normalform von f bezüglich einer Gröbner-Basis S von I. Es gilt NF(f |I) = 0 genau dann, wenn fI.

Eine modifizierte Normalform gibt es auch für lokale Monomenordnungen. Sie liefert eine Darstellung \begin{eqnarray}uf=\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\xi }_{i}{f}_{i}+r\end{eqnarray}

mit Polynomen u, ξi, i = 1, …, m, so daß gilt:

L(u) = 1, und L(r) ist nicht durch die L(fi) teilbar für i = 1, …, m.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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