Lexikon der Mathematik: Normalgleichung
die Gleichung ATAx = ATb, deren Lösung x gerade die Lösung des in der Ausgleichsrechnung häufig anzutreffenden linearen Ausgleichsproblems
ist.
Da ATA eine symmetrische Matrix ist kann die Normalgleichung mittels des Cholesky-Verfahrens gelöst werden. Bei der Lösung der Normalgleichung können numerische Probleme auftreten, wenn die Konditionszahl der Matrix ATA sehr groß ist. Die Lösung x hat dann relativ große Fehler. Zudem sind Rundungsfehler bereits bei der Berechnung von ATA und ATb unvermeidlich. Man sollte das lineare Ausgleichsproblem daher mittels der QR-Zerlegung lösen. Dieses Verfahren wird unter Methode der kleinsten Quadrate beschrieben.
Geometrisch besagt die Normalgleichung, daß b − Ax eine Normale auf Im(A) ∪ ℝm ist. Dies gibt ihr den Namen.
Bei der Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems
liefern die Normalgleichungen
die notwendige Bedingung für ein Minimum des obigen Ausdrucks.
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