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Lexikon der Mathematik: Normalgleichung

die Gleichung ATAx = ATb, deren Lösung x gerade die Lösung des in der Ausgleichsrechnung häufig anzutreffenden linearen Ausgleichsproblems \begin{eqnarray}\mathop{\min }\limits_{x}||Ax-b|{|}_{2},A\in {{\mathbb{R}}}^{m\times n}\end{eqnarray}

ist.

Da ATA eine symmetrische Matrix ist kann die Normalgleichung mittels des Cholesky-Verfahrens gelöst werden. Bei der Lösung der Normalgleichung können numerische Probleme auftreten, wenn die Konditionszahl der Matrix ATA sehr groß ist. Die Lösung x hat dann relativ große Fehler. Zudem sind Rundungsfehler bereits bei der Berechnung von ATA und ATb unvermeidlich. Man sollte das lineare Ausgleichsproblem daher mittels der QR-Zerlegung lösen. Dieses Verfahren wird unter Methode der kleinsten Quadrate beschrieben.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Normalgleichung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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bAx ist Normale auf Im(A)

Geometrisch besagt die Normalgleichung, daß bAx eine Normale auf Im(A) ∪ ℝm ist. Dies gibt ihr den Namen.

Bei der Lösung eines nichtlinearen Ausgleichsproblems \begin{eqnarray}\mathop{\min }\limits_{{a}_{1},\ldots,{a}_{m}}\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{({y}_{k}-f({x}_{k};{a}_{1},\ldots,{a}_{m}))}^{2}\end{eqnarray}

liefern die Normalgleichungen \begin{eqnarray}\frac{\partial }{\partial {a}_{i}}\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{({y}_{k}-f({x}_{k};{a}_{1},\ldots,{a}_{m}))}^{2}=0,\end{eqnarray}

die notwendige Bedingung für ein Minimum des obigen Ausdrucks.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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