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Lexikon der Mathematik: Normalkomponente

die zu einer Fläche oder Kurve senkrechte Komponente eines Vektors im ℝ3.

Ist x ein Punkt einer Fläche ℱ oder einer Kurve 𝒦 des ℝ3 und Tx(𝒦) die Tangente von 𝒦, Tx(ℱ) die Tangentialebene von 𝒦, Nx(𝒦) die Normalebene von 𝒦 und Nx(ℱ) die Normale von ℱ, so besitzt ein beliebiger Vektor \(\overrightarrow{\upsilon }\) ∈ ℝ2 eine eindeutige Darstellung der Gestalt \begin{eqnarray}\overrightarrow{\upsilon }={\overrightarrow{\upsilon }}_{T,{\mathcal{K}}}+{\overrightarrow{\upsilon }}_{N{\mathcal{K}}}\end{eqnarray}

bzw. \begin{eqnarray}\overrightarrow{\upsilon }={\overrightarrow{\upsilon }}_{T, {\mathcal F} }+{\overrightarrow{\upsilon }}_{N {\mathcal F} },\end{eqnarray}

wobei für die Summanden \({\overrightarrow{\upsilon }}_{T,{\mathcal{K}}},{\overrightarrow{\upsilon }}_{N,{\mathcal{K}}},{\overrightarrow{\upsilon }}_{T, {\mathcal F} },{\overrightarrow{\upsilon }}_{N, {\mathcal F} }\) dieser Darstellungen \({\overrightarrow{\upsilon }}_{T,{\mathcal{K}}}\in {T}_{x}({\mathcal{K}}),{\overrightarrow{\upsilon }}_{N,{\mathcal{K}}}\in {N}_{x}({\mathcal{K}}),{\overrightarrow{\upsilon }}_{T, {\mathcal F} }\in {T}_{x}( {\mathcal F} )\) und \({\overrightarrow{\upsilon }}_{N, {\mathcal F} }\in {N}_{x}( {\mathcal F} )\) gilt.

Die Vektoren \({\overrightarrow{\upsilon }}_{N,{\mathcal{K}}}\) und \({\overrightarrow{\upsilon }}_{N, {\mathcal F} }\) heißen Normalkomponenten und \({\overrightarrow{\upsilon }}_{T,{\mathcal{K}}}\) und \({\overrightarrow{\upsilon }}_{T, {\mathcal F} }\) Parallelkomponenten oder Tangentialkomponenten des Vektors \(\overrightarrow{\upsilon }\) in bezug auf die Kurve bzw. Fläche.

In ähnlicher Weise zerfallen die Vektoren des Tangentialraums Tx(Mm) einer Untermannigfaltigkeit NnMm einer Riemannschen Mannigfaltigkeit in eine eindeutig bestimmte Normal- und Parallelkomponente.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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