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Lexikon der Mathematik: Normalkrümmung

die signierte Krümmung (Krümmung von Kurven) κn(𝔳) des durch einen Vektor 𝔳 ∈ Tp(F) der Tangentialebene einer Fläche ℱ bestimmten Normalschnitts.

Der Normalschnitt von 𝔳 im Punkt pF ist die Schnittkurve der durch 𝔳 und den Normalenvektor bestimmten Ebene mit der Fläche ℱ. Sie hängt nur von der Richtung von 𝔳, nicht von dessen Länge ab, und kann als Quotient \begin{eqnarray}{\kappa }_{n}({\mathfrak{v}})=\frac{II({\mathfrak{v}},{\mathfrak{v}})}{I({\mathfrak{v}},{\mathfrak{v}})}\end{eqnarray}

der ersten und zweiten Gaußschen Fundamentalform berechnet werden. Es gilt der folgende Satz von Euler:

Sind 𝔢1, 𝔢2Tp(F) zwei orthonormierte Vektoren mit Hauptkrümmungsrichtung, κ1, κ2die zugehörigen Hauptkrümmungen, und ist \begin{eqnarray}{\mathfrak{v}}=\cos (\varphi ){{\mathfrak{e}}}_{1}+\sin (\varphi ){{\mathfrak{e}}}_{2}\end{eqnarray}

ein durch den Drehwinkel ϕ gegebener Einheitsvektor von Tp(F), so gilt \begin{eqnarray}{\kappa }_{n}({\mathfrak{v}})={\cos }^{2}(\varphi ){\kappa }_{1}+\sin (\varphi ){\kappa }_{2}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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