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Lexikon der Mathematik: Normalverteilung

Gaußsche Normalverteilung, Gauß-Verteilung, das zu den reellen Parametern μ und σ2, σ > 0, durch die Wahrscheinlichkeitsdichte \begin{eqnarray}{f}_{\mu,{\sigma }^{2}}:{\mathbb{R}}{\unicode {x0220D}}x\to \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^{2}}\in {{\mathbb{R}}}^{+}\end{eqnarray}

definierte Wahrscheinlichkeitsmaß.

Die Normalverteilung mit Parametern μ und σ2 wird in der Regel kurz als N(μ, σ2)-Verteilung bezeichnet. Die N(0, 1)-Verteilung heißt Standardnormalverteilung. Die Werte ihrer Verteilungsfunktion Φ berechnet man approximativ mit dem Computer oder entnimmt sie Tabellenwerken. Diese Tabellenwerke enthalten in der Regel nur die Werte Φ(x) für Argumente x ≥ 0. Für negative Argumente berechnet man den Wert der Verteilungsfunktion unter Ausnutzung der Symmetriebeziehung Φ(x) = 1 − Φ(−x), welche für alle x ∈ ℝ gilt.

Die Dichte fμ, σ2 ist achsensymmetrisch zur Achse x = μ, besitzt an der Stelle μ einen eindeutig bestimmten Modalwert, und Wendepunkte an den Stellen μ ± σ. Ihr Graph wird als „Gaußsche Glockenkurve“ bezeichnet.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Normalverteilung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Dichte der Standardnormalverteilung

Die Normalverteilung ist eine stabile und folglich auch unbegrenzt teilbare Verteilung. Besitzt die auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierte Zufallsvariable X eine N(μ, σ2)-Verteilung, so gilt für den Erwartungswert E(X) = μ und für die Varianz Var(X) = σ2. Die Zufallsvariable (Xμ)/σ besitzt dann eine Standardnormalverteilung, sodaß insbesondere für die Verteilungsfunktion Φμ, σ2 von X die Beziehung \begin{eqnarray}{\Phi }_{\mu,{\sigma }^{2}}(x)=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)\end{eqnarray}

für alle x ∈ ℝ gilt. Innerhalb der Intervalle mit den Endpunkten μ ± σ, μ ± 2σ und μ ± 3σ nimmt X Werte mit den Wahrscheinlichkeiten P(|Xμ| ≤ σ) ≈ 0, 6827, P(|Xμ| ≤ 2σ) ≈ 0, 9545 und P(|Xμ| ≤ 3σ) ≈ 0, 9973 an.

Sind X1 und X2 unabhängige, nicht notwendig mit den gleichen Parametern normalverteilte Zufallsvariablen, so ist auch die Summe X1 + X2 normalverteilt.

Ihre besondere Bedeutung für die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik verdankt die Normalverteilung u. a. dem zentralen Grenzwertsatz. Die mehrdimensionale Verallgemeinerung der Normalverteilung bezeichnet man als multivariate Normalverteilung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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