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Lexikon der Mathematik: Normenrestsymbol

auch Hilbertsymbol oder Hilbertsches Normenrestsymbol genannt, Begriff aus der Zahlentheorie.

Für eine beliebige sogenannte Stelle v von ℚ, also v = ∞ oder v = p Primzahl, setzt man für a, b ∈ ℚv\{0} (a, b)v := +1, falls b als Wert der Norm der Körpererweiterung ℚv(\(\sqrt{a}$) über ℚv auftritt, und (a, b)v := −1 sonst.

Sind a, b ≠ 0 rationale Zahlen, so gilt die Produktformel \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{\upsilon }{(a,b)}_{\upsilon }=1,\end{eqnarray}

wobei sich das Produkt über alle Stellen v von ℚ erstreckt. Die Produktformel hängt mit einem tiefliegenden Gesetz aus der Klassenkörpertheorie zusammen, welches das quadratische Reziprozitätsgesetz als Spezialfall enthält.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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