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Lexikon der Mathematik: normierter Vektorraum

normierter Raum, ein reeller oder komplexer Vektorraum V zusammen mit einer Abbildung |..| : V → ℝ, der Norm, die die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. |x| > 0 für alle xV mit x ≠ 0, und |0| = 0,
  2. |αx| = |α||x|, für xV und α ∈ ℝ oder α ∈ ℂ (Homogenität),
  3. |x + y| ≤ |x| + |y| für x, yV (Dreiecksungleichung).

Hierbei ist für |α| je nach Situation der reelle oder der komplexe Betrag zu nehmen.

Beispiele von Normen können erhalten werden, wenn der Vektorraum ein Skalarprodukt besitzt (Norm in einem euklidischen oder unitären Vektorraum). Es gibt jedoch auch allgemeinere, nicht von Skalarprodukten herkommende Normen, die von großer Bedeutung sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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