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Lexikon der Mathematik: notwendige Optimalitätsbedingung

eine Optimalitätsbedingung, die in jedem Extremalpunkt eines Optimierungsproblems erfüllt sein muß.

Eine der elementarsten notwendigen Optimalitätsbedingungen für die lokale Extremalstellensuche einer differenzierbaren Funktion f : ℝn → ℝ ist die Forderung nach Verschwinden des Gradienten der Zielfunktion in einer lokalen Extremalstelle \(\bar{x}\) : grad f (\(\bar{x}\) ) = 0 (Bedingung erster Ordnung).

Ist f sogar zweimal stetig differenzierbar, so muß zusätzlich die Hessematrix D2f (\(\bar{x}\) ) positiv semidefinit (negativ semidefinit) sein, falls \(\bar{x}\) ein lokaler Minimalpunkt (Maximalpunkt) ist (Bedingung zweiter Ordnung).

Beide Bedingungen sind nicht hinreichend, wie das Beispiel f (x) := x3 in ℝ zeigt. Hier sind für \(\bar{x}\) := 0 die Ableitungen f ′ (\(\bar{x}\) ) = 0 sowie f′′ (\(\bar{x}\) ) = 0, aber \(\bar{x}\) ist kein lokaler Extremalpunkt.

Für Extremwertaufgaben unter Nebenbedingungen spielt bei der Formulierung von notwendigen Optimalitätsbedingungen die Lagrangefunktion eine wichtige Rolle.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel notwendige Optimalitätsbedingung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Notwendige Optimalitätsbedingung, I: In jeder lokalen Extremalstelle im Inneren des Definitionsbereichs einer differenzierbaren Funktion f : [a, b] -> R verschwindet die Ableitung von f.

Abbildung 2 zum Lexikonartikel notwendige Optimalitätsbedingung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Notwendige Optimalitätsbedingung, II: Die notwendige Bedingung erster Ordnung ist nicht hinreichend.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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