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Lexikon der Mathematik: nuklearer Operator

ein linearer Operator T zwischen Banachräumen X und Y mit einer Darstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}Tx=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{{x}^{\prime}}_{n}(x){y}_{n}, & (1)\end{array}\end{eqnarray}

wobei xnX′, ynY, und \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n}\Vert {{x}^{\prime}}_{n}\Vert \Vert {y}_{n}\Vert \lt \infty.\end{eqnarray}

Jeder nukleare Operator ist kompakt. Das Infimum der Zahlen Σn ||xn || ||yn || über alle Darstellungen (1) ist die nukleare Norm von T. Der Raum N(X, Y) aller nuklearen Operatoren wird, versehen mit der nuklearen Norm, zu einem Banachraum.

Die nuklearen Operatoren bilden im folgenden Sinn ein Operatorideal: Ist T : XY nuklear, und sind R : WX sowie S : YZ stetig, so ist auch STR : WZ nuklear, und für die nukleare Norm gilt \begin{eqnarray}{\Vert STR\Vert }_{\text{nuk}}\le \Vert S\Vert {\Vert T\Vert }_{\text{nuk}}\Vert R\Vert.\end{eqnarray}

Ist T : XX ein nuklearer Operator, so ist die Eigenwertfolge (Eigenwert eines Operators) nicht nur eine Nullfolge, sondern sie liegt in ℓ2 ; ist X ein Hilbertraum, so liegt sie sogar in ℓ1.

Hat X′ oder Y die Approximationseigenschaft (Approximationseigenschaft eines Banachraums), so gilt \(N(X,Y)={X}^{\prime}{\widehat{\otimes }}_{\pi }Y\) (Tensorprodukte von Banachräumen). Hat einer der Räume X′′ oder Y ′ die Approximationseigenschaft und einer die Radon-Nikodym-Eigenschaft, so ist N(X′, Y ′) zum Dualraum des Raums der kompakten Operatoren K(X, Y) isometrisch isomorph. Der Raum aller stetigen linearen Operatoren L(X′′, Y′′) ist dann zum Dualraum von N(X′, Y ′) und zum Bidualraum von K(X, Y) isometrisch isomorph. Die Voraussetzungen an X und Y sind insbesondere für Hilberträume erfüllt.

[1] Defant, A.; Floret, K.: Tensor Norms and Operator Ideals. North-Holland Amsterdam, 1993.
[2] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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