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Lexikon der Mathematik: Nullstellenordnung

Vielfachheit der Nullstelle einer Funktion.

Es seien G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine in G holomorphe Funktion, die nicht identisch gleich Null ist, z0G und f (z0) = 0. Dann existiert eine kleinste Zahl m ∈ ℕ derart, daß \begin{eqnarray}f({z}_{0})={f}^{\prime}({z}_{0})=\cdots ={f}^{(m-1)}({z}_{0})=0\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{f}^{(m)}({z}_{0})\ne 0.\end{eqnarray}

Diese Zahl m heißt die Nullstellenordnung von f in z0 und wird mit o(f, z0) bezeichnet. Ist f (z0) ≠ 0, so setzt man o(f, z0) := 0. Für die Nullfunktion setzt man o(f, z0) := ∞. Analoge Definitionen für reelle und andere Funktionen liegen auf der Hand.

Es gilt m = o(f, z0) genau dann, wenn eine in G holomorphe Funktion \(\hat{f}\) existiert derart, daß \(\hat{f}\) (z0) ≠ 0 und \begin{eqnarray}f(z)={(z-{z}_{0})}^{m}\hat{f}(z)\end{eqnarray}

für alle zG. Weiter gelten folgende Rechenregeln für in G holomorphe Funktionen f und g:

  • o(fg, z0) = o(f, z0) + o(g, z0) (Produktregel),
  • o(f + g, z0) ≥ min {o(f, z0), o(g, z0)}, wobei Gleichheit sicher dann gilt, wenn o(f, z0) ≠ o(g, z0).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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