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Lexikon der Mathematik: Nullstellenschema

Begriff aus der algebraischen

Geometrie.

Sei X ein Schema, eine lokal freie Garbe von 𝒪X-Moduln vom Rang r, und s ein globaler Schnitt von . Eine Nullstelle von s ist ein Punkt xX so, daß s bei der Abbildung |x (Restriktion) auf Null abgebildet wird.

Die Menge aller Nullstellen ist abgeschlossen und lokal durch r Gleichungen f1 = · · · = fr = 0 definiert, wenn E auf der offenen Menge U durch Schnitte e1, …, er erzeugt wird und \begin{eqnarray}s|U={f}_{1}{e}_{1}+\cdots +{f}_{r}{e}_{r}\end{eqnarray}

mit fj ∈ 𝒪X(U) gilt.

Diese Menge läßt sich auf natürliche Weise mit der Struktur eines abgeschlossenen Unterschemas Z(s) ⊂ X, des Nullstellenschemas, versehen: s induziert eine 𝒪X-lineare Abbildung 𝒪X, ffs, und das Bild der dualen Abbildung \(\mathop{\varepsilon }^{\unicode {x002D8}}=Ho{m}_{{{\mathcal{O}}}_{X}}(\varepsilon,{\mathcal{O}})\to {{\mathcal{O}}}_{X}\) definiert die Idealgarbe IZ(s). Insbesondere erhält man einen natürlichen Epimorphismus auf die Konormalengarbe von Z = Z(s), nämlich \(\mathop{ {\mathcal E} }^{\unicode {x002D8}}{\otimes }_{{{\mathcal{O}}}_{X}}{{\mathcal{O}}}_{Z}\to {{\mathcal{N}}}_{Z/X}^{* }\), und wenn Z lokal vollständiger Durchschnitt der Kodimension r in X ist, ist dies ein Isomorphismus.

In diesem Fall ergibt sich aus der Adjunktionsformel: Wenn X eine dualisierende Garbe ωx besitzt, so ist (∧rωX)|Z dualisierende Garbe für Z, die dualisierende Garbe von Z ist also Einschränkung eines Geradenbündels über X auf Z; diese Eigenschaft von Z nennt man auch subkanonisch.

Speziell erhält man im Falle r = 2 eine exakte Folge (wenn Z(s) von der Kodimension 2 ist) \begin{eqnarray}0\to {{\mathcal{O}}}_{X}\mathop{\to }\limits^{s}\varepsilon \mathop{\to }\limits^{\wedge s}{I}_{Z}\otimes {\wedge }^{2}\varepsilon \to 0\end{eqnarray}

(IZ ⊗ ∧2 ist die Abbildung tts).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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