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Lexikon der Mathematik: numeri idonei

„taugliche Zahlen“, ein von Euler benutzter Begriff, der sich auf einen Primzahltest bezieht.

Die Grundlage bildet folgendes Resultat:

Seien a, b ∈ ℕ gegeben, und sei p eine Primzahl. Dann gibt es höchstens eine Darstellung der Form \begin{eqnarray}p=a{x}^{2}+b{y}^{2}\end{eqnarray}

mit natürlichen Zahlen x, y.

Euler interessierte sich nun für die Darstellung von Zahlen q ∈ ℕ in der Form \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}q={x}^{2}+d{y}^{2} & (1)\end{array}\end{eqnarray}

mit d ∈ ℕ und ggT(x, dy) = 1. Falls q eine Primzahl ist, so besitzt sie nach obigem Satz höchstens eine solche Darstellung. Diejenigen Zahlen d ∈ N, für die auch die Umkehrung gilt, also für die jede Zahl q mit einer eindeutigen Darstellung (1) bereits eine Primzahl ist, nannte Euler numeri idonei.

Diese sind geeignet, um zu testen, ob eine vorgelegte Zahl q eine Primzahl ist: Man versuche zu zeigen, daß q eine eindeutig bestimmte Darstellung der Form (1) besitzt; gelingt dies, so folgt, daß q eine Primzahl ist – insofern sind die numeri idonei taugliche Zahlen für Primzahltests.

Euler fand genau 65 numeri idonei:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848.

Beispielsweise zeigte er mit Hilfe der tauglichen Zahl d = 1848, daß 18 518 809 eine Primzahl ist. Bis heute sind keine weiteren numeri idonei gefunden worden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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