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Lexikon der Mathematik: Numerik partieller Differentialgleichungen

Techniken zur Gewinnung approximativer Lösungen partieller Differentialgleichungen.

Im Gegensatz zur Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen zeigen sich die Methoden für partielle Differentialgleichungen wesentlich uneinheitlicher, was in der sehr unterschiedlichen Klassifizierung dieser Probleme begründet ist. Dennoch wird auch hier zunächst versucht, ein Problem mit unendlich vielen Freiheitsgraden auf ein Problem mit endlich vielen Freiheitsgraden abzubilden, gegebenfalls über den Zwischenschritt der Abbildung auf gewöhnliche Differentialgleichungen oder Integralgleichungen.

Die Hauptklassen von Lösungsverfahren lassen sich wie folgt einteilen:

1. Differenzenverfahren: Ähnlich den Differenzenverfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen werden im Definitionsgebiet nach einem festen Schema endlich viele Punkte ausgewählt, in denen dann die Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung ersetzt wird. Man unterscheidet explizite Differenzenverfahren und implizite Differenzenverfahren.

2. Variationsmethoden: Die Differentialgleichung wird durch ein äquivalentes Variationsproblem ersetzt, welches dann in einem geeignet gewählten Funktionenraum gelöst wird. Die Lösung wird dabei dargestellt durch eine Linearkombination der Basiselemente dieses Raumes, wobei auch hier eine endliche Approximation angestrebt wird. Beispiele für diese Vorgehensweise sind die Ritz-Galerkin-Methode, die daraus abgeleitete Methode der Finiten Elemente, oder die Randelementemethode.

Für elliptische und parabolische Differentialgleichungen eignen sich sowohl Variationsmethoden (wie z. B. die Methode der Finiten Elemente) als auch das Differenzenverfahren. Bei hyperbolischen Differentialgleichungen verwendet man ausschließ-lich Differenzenverfahren, gegebenenfalls auch im Rahmen eines Charakteristikenverfahrens.

Man vergleiche auch den Artikel über Numerische Mathematik.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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