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Lexikon der Mathematik: numerische Äquivalenz

Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Für ein Schema X, das eigentlich über einem Körper k ist, sei C1 (X) die freie abelsche Gruppe, die von allen Kurven (also eindimensionalen abgeschlossenen irreduziblen reduzierten Unterschemata) erzeugt wird. Man erhält eine Bilinearform \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{C}_{1}(X)\otimes \text{Pic}(X) & \to & {\mathbb{Z}}\\ c\otimes {\mathcal L} & \mapsto & \deg ( {\mathcal L} |C)=(C\cdot {\mathcal L} ).\end{array}\end{eqnarray}

Dann heißen 1-Zyklen z, z′ ∈ C1 (X) numerisch äquivalent, wenn (z · \({\mathcal{L}}\)) = (z′ · \({\mathcal{L}}\)) für alle \({\mathcal{L}}\) ∈ Pic(X) (Picardgruppe). Geradenbündel \({\mathcal{L}}\), \({\mathcal{L}}\)′ ∈ Pic(X) heißen numerisch äquivalent, wenn (z · \({\mathcal{L}}\)) = (z · \({\mathcal{L}}\)′) für alle zC1 (X).

N1 (X) bzw. N1 (X) bezeichnet die Gruppe der numerischen Äquivalenzklassen von 1-Zyklen bzw. von Geradenbündeln.

Für algebraische Zyklen z der Kodimension k wird numerische Äquivalenz definiert durch die Forderung, daß für alle Vektorbündel auf X und alle Polynome in den Chernklassen von gilt: \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{X}P\cap z=0.\end{eqnarray}

Wenn X glatt von der Dimension n ist, so ist dies gleichbedeutend mit \begin{eqnarray}\displaystyle {\int }_{X}{z}^{\prime}\cdot z=0\end{eqnarray}

für alle algebraischen Zyklen z der Kodimension nk.

Für glatte projektive Varietäten X über ℂ ist die Gruppe der numerischen Äquivalenzklassen von algebraischen Zyklen eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe.

Dies ergibt sich daraus, daß aus homologischer Äquivalenz numerische Äquivalenz folgt, also die Gruppe N(X) der numerischen Äquivalenzklassen Subquotient der singulären Kohomologie H(X, 𝒵) ist.

Offen ist die Vermutung, daß numerische Äquivalenz und homologische Äquivalenz mod Torsion übereinstimmen. Für Kodimension 1-Zyklen ist dies bekannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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