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Lexikon der Mathematik: numerische Integration

auch numerische Quadratur bzw. Kubatur, Methoden der näherungsweise Berechnung von Integralen.

In der numerischen Integration wird – im eindimensionalen Fall – das bestimmte Integral \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt\end{eqnarray}

näherungsweise durch eine Integrationsformel (auch: Quadraturformel) \begin{eqnarray}{Q}_{n}(f)=\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{a}_{i}f({x}_{i})\end{eqnarray}

berechnet. Dies wird notwendig, wenn sich eine Stammfunktion von f nicht durch elementare Funktionen ausdrücken läßt, die numerische Auswertung der Stammfunktion zu komplex ist oder der Integrand nur diskret, etwa als Ergebnis von Messungen, vorliegt.

Eine Möglichkeit, solche Näherungsformeln zu bestimmen, ergibt sich aus fortgesetzter Newton-Cotes Quadratur. Hierbei geht man von einer äquidistanten Intervallunterteilung xi = a + ih, i = 0, \(h=\frac{b-a}{n-1}\), aus, und nähert den Integranden stückweise durch interpolierende Polynome eines festen Grades m.

Eine einfache Möglichkeit hierfür ist es, die Funktion f in jedem der Intervalle (xi−1, xi), i = 1, …, n − 1, durch eine Konstante yi−1 = f (ξi−1) mit ξi−1 ∈ [xi−1, xi] zu nähern, d. h. m = 0. In diesem Fall erhält man die Rechtecks-Regel \begin{eqnarray}{Q}_{n}^{(0)}(f)=h\displaystyle \sum _{i=0}^{n-2}{y}_{i}.\end{eqnarray}

Im Spezialfall \({\xi }_{i-1}=\frac{{x}_{i-1}+{x}_{i}}{2}\) heißt die Rechtecks-Regel auch Mittelpunkts-Regel.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel numerische Integration
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Mittelpunktsregel

Fehlerabschätzungen (in der numerischen Integration) hängen im allgemeinen von der Gutartigkeit von f ab. Ist f eine stetige Funktion auf [a, b], so ergibt sich die Fehlerabschätzung \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{Q}_{n}^{(0)}(f)\right|\le \omega (f,h)(b-a),\end{eqnarray}

wobei \begin{eqnarray}\omega (f,h)=\max \{|f(x)-f(y)|:|x-y|\lt h\}\end{eqnarray}

der Stetigkeitmodul von f ist. Für die Mittelpunkts-Regel gilt \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{Q}_{n}^{(0)}(f)\right|\le \omega (f,\frac{h}{2})(b-a)\end{eqnarray}

und, falls f eine zweimal differenzierbare Funktion auf [a, b] ist: \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{Q}_{n}^{(0)}(f)\right|\le \frac{{h}^{2}}{24}\mathop{\max }\limits_{x\in [a,b]}|{f}^{\prime\prime}(x)|(b-a).\end{eqnarray}

Interpoliert man die Funktion f an den Stellen yi−1 = f(xi−1), i = 1, …, n, über den Intervallen [xi−1, xi] jeweils linear, so ergibt sich die Trapezregel (auch: Sehnentrapezregel) \begin{eqnarray}{Q}_{n}^{(1)}(f)=h\left(\frac{{y}_{0}}{2}+\displaystyle \sum _{i=1}^{n-2}{y}_{i}+\frac{{y}_{n-1}}{2}\right).\end{eqnarray}

Abbildung 2 zum Lexikonartikel numerische Integration
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Trapezregel

Ist f eine differenzierbare Funktion auf [a, b], so gilt \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{Q}_{n}^{(0)}(f)\right|\le \frac{h}{4}\mathop{\max }\limits_{x\in [a,b]}|{f}^{\prime}(x)|(b-a).\end{eqnarray}

Falls f eine zweimal differenzierbare Funktion auf [a, b] ist, so gilt \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{Q}_{n}^{(0)}(f)\right|\le \frac{{h}^{2}}{12}\mathop{\max }\limits_{x\in [a,b]}|{f}^{\prime\prime}(x)|(b-a).\end{eqnarray}

Verwendet man Polynome vom Grad 2, so interpoliert man die Funktionswerte y2i = f(x2i), y2i+1 = f(x2i+1) und y2i+2 = f(x2i+2) in den Intervallen [x2i, x2i+2 ], i = 0, …, k − 1, und setzt n − 1 = 2k voraus. In diesem Fall erhält man die Simpson-Regel \begin{eqnarray}{Q}_{2k}^{(2)}(f)=\frac{h}{3}({y}_{0}+4{y}_{1}+2{y}_{2}+\cdots +4{y}_{2k-1}+{y}_{2k}).\end{eqnarray}

Abbildung 3 zum Lexikonartikel numerische Integration
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Simpson-Regel

Der Quadraturfehler der Simpson-Regel für eine vierfach differenzierbare Funktion f auf [a, b] läßt sich abschätzen durch \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{Q}_{2k}^{(2)}(f)\right|\le \frac{{h}^{4}}{180}\mathop{\max }\limits_{x\in [a,b]}|{f}^{(4)}(x)|(b-a).\end{eqnarray}

Für Polynome vom Grad 3 ergibt sich analog mit n − 1 = 3k die Newtonsche-\({\scriptstyle \frac{3}{8}}\)-Regel \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{Q}_{3k}^{(3)}(f) & = & \frac{3h}{8}({y}_{0}+3{y}_{1}+3{y}_{2}+2{y}_{3}+\ldots \\ & & +3{y}_{3k-1}+{y}_{3k}).\end{array}\end{eqnarray}

Der Quadraturfehler der Newtonschen-\({\scriptstyle \frac{3}{8}}\)-Regel für eine vierfach differenzierbare Funktion f auf [a, b] läßt sich abschätzen durch \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{Q}_{3k}^{(2)}(f)\right|\le \frac{{h}^{4}}{80}\mathop{\max }\limits_{x\in [a,b]}|{f}^{(4)}(x)|(b-a).\end{eqnarray}

Durch Schrittweitenextrapolation wird die Konvergenz solcher Quadraturformeln verbessert. Diese Vorgehensweise nennt man Romberg-Verfahren.

Eine weitere Methode der numerischen Integration stammt von Gauß. Nach dieser Vorgehensweise werden nicht nur die Gewichte ai, sondern auch die Stützstellen xi als Parameter von Qn(f) aufgefaßt. Die Gaußsche Quadraturformel erhält man durch die Forderung, daß für alle Polynome bis zum maximalen Grad 2n − 1 \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}p(t)dt={Q}_{n}(p)\end{eqnarray}

gilt. Ist [a, b] = [−1, 1], so bilden die Nullstel len x0, …, xn−1 ∈ (−1, 1) des n-ten Legendre-Polynoms Ln eine geeignete Wahl von Stützstellen. Die zugehörigen Gewichte berechnen sich als \begin{eqnarray}{a}_{i}=\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{l}_{i}(t)dt,\end{eqnarray}

wobei li, i = 0, …, n − 1, das i-te Lagrange-Polynom vom Grad n − 1 ist. Dies ergibt sich aus der Orthogonalitätseigenschaft der Legendre-Polynome.

Für den Fehler der Gauß-Quadratur hinsichtlich einer 2n-fach differenzierbaren Funktion f auf [−1, 1] gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{Q}_{n}(f)=\frac{{2}^{2n+1}n{!}^{4}}{{(2n!)}^{3}(2n+1)}{f}^{(2n)}(\xi )\end{eqnarray}

wobei ξ ∈ (−1, 1).

Allgemeiner werden Quadraturformeln vom Gaußschen Typ verwendet, um (uneigentliche) Integrale der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \int \omega (t)f(t)dt\end{eqnarray}

zu nähern. Hierbei ist ω eine Gewichtsfunktion mit der Eigenschaft ω(t) > 0. Beispielsweise sind die Nullstellen der Tschebyschew-Polynome die Stützstellen bzgl. der Gewichtsfunktion \(\omega (t)={(1-{t}^{2})}^{-{\scriptstyle \frac{1}{2}}}\) im Intervall (−1, 1). Im Intervall [0, ∞) bilden die Nullstellen der Laguerre-Polynome die Stützstellen bzgl. der Gewichtsfunktion ω(t) = exp(−t).

Prinzipiell analoge, allerdings durch die höhere Dimension und Anzahl der Freiheitsgrade wesentlich kompliziertere Zugänge und Formeln existieren auch für höherdimensionale Integrale. Hierbei spricht man von (Numerischer) Kubatur, während für den oben behandelten eindimensionalen Fall auch die Bezeichnung (Numerische) Quadratur benutzt wird.

Eine schöne Darstellung der hier aus Platzgründen nicht weiter behandelten Kubaturformeln findet man in [1] und [2].

[1] Davis, P.J.; Rabinowitz, P.: Methods of numerical integration. Academic Press Orlando, 1980.
[2] Engels, H.: Numerical quadrature and cubature. Academic Press Orlando, 1984.
[3] Hämmerlin, G; Hoffmann, K.-H.: Numerische Mathematik. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1991.
[4] Meinardus, G.; Merz, G.: Praktische Mathematik I. BI-Wissenschaftsverlag Mannheim, 1979.
[5] Stoer, J.: Einführung in die Numerische Mathematik I. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1972.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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