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Lexikon der Mathematik: numerische Konvergenz

abgeschwächter Konvergenzbegriff zur approximativen numerischen Berechnung.

Ist a eine Zahl, die man mit Hilfe einer Reihe numerisch berechnen will, so ist eine Reihendarstellung dann numerisch verwertbar, wenn der Abbruchfehler nach möglichst wenigen Schritten so klein ist, daß das Ergebnis im Hinblick auf die Maschinengenauigkeit exakt ist.

Bezeichnet man mit ϵ0 die kleinste Maschinenzahl eines gegebenen Rechners, so liegt numerische Konvergenz einer Reihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{a}_{k}\end{eqnarray}

gegen eine Zahl a dann vor, wenn es für jedes ϵ > ϵ0 > 0 eine natürliche Zahl nϵ gibt, so daß \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \sum _{k=1}^{n(\varepsilon )}{a}_{k}-a\right|\lt \varepsilon \end{eqnarray}

gilt.

Dabei kann es vorkommen, daß eine im Sinne der Analysis divergente Reihe numerisch konvergent ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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