Methode zur näherungsweisen Berechnung von Fredholmschen Integralgleichungen.

Zur Lösung einer Fredholmschen Integralgleichung zweiter Art \begin{eqnarray}\lambda \cdot \displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)\cdot \varphi (y)dy+f(x)=\varphi (x)\end{eqnarray}

mit bekannten Funktionen K: [a, b] × [a, b] → ℝ und f: [a, b] → ℝ und einer unbekannten Funktion ϕ mit Hilfe der Nyström-Methode verwendet man eine Gaußsche Quadraturformel. Sind t₁, …, t_n die n Nullstellen des Legendrepolynoms \begin{eqnarray}{P}_{n}(x)=\frac{1}{{2}^{n}n!}\cdot \frac{{d}^{n}[{({x}^{2}-1)}^{n}]}{d{x}^{n}},\end{eqnarray}

so transformiert man diese Nullstellen durch \begin{eqnarray}{x}_{v}=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b-a){t}_{v}\end{eqnarray}

auf das Intervall [a, b]. Das Integral läßt sich dann mit Hilfe der Knoten x₁, …, x_n annähern, wobei aus der Integralgleichung ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten ϕ(x₁), …, ϕ(x_n) entsteht. Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind dann Näherungen für die Funktionswerte ϕ(x₁), …, ϕ(x_n) der gesuchten Funktion ϕ.

Es existieren auch Varianten dieser Methode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.