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Lexikon der Mathematik: Nyström-Methode

Methode zur näherungsweisen Berechnung von Fredholmschen Integralgleichungen.

Zur Lösung einer Fredholmschen Integralgleichung zweiter Art \begin{eqnarray}\lambda \cdot \displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,y)\cdot \varphi (y)dy+f(x)=\varphi (x)\end{eqnarray}

mit bekannten Funktionen K: [a, b] × [a, b] → ℝ und f: [a, b] → ℝ und einer unbekannten Funktion ϕ mit Hilfe der Nyström-Methode verwendet man eine Gaußsche Quadraturformel. Sind t1, …, tn die n Nullstellen des Legendrepolynoms \begin{eqnarray}{P}_{n}(x)=\frac{1}{{2}^{n}n!}\cdot \frac{{d}^{n}[{({x}^{2}-1)}^{n}]}{d{x}^{n}},\end{eqnarray}

so transformiert man diese Nullstellen durch \begin{eqnarray}{x}_{v}=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b-a){t}_{v}\end{eqnarray}

auf das Intervall [a, b]. Das Integral läßt sich dann mit Hilfe der Knoten x1, …, xn annähern, wobei aus der Integralgleichung ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten ϕ(x1), …, ϕ(xn) entsteht. Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind dann Näherungen für die Funktionswerte ϕ(x1), …, ϕ(xn) der gesuchten Funktion ϕ.

Es existieren auch Varianten dieser Methode zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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