Lexikon der Mathematik: Oberflächenintegral
das für eine auf dem Träger (\({\mathfrak{F}}\)) eines regulären Flächenstücks \({\mathfrak{F}}\) definierte reellwertige Funktion f durch
Dazu ist zunächst – analog zur Kurventheorie – der Inhalt geeigneter Flächen im ℝ3 zu definieren. Dies sei hier nur skizziert. Genauer und wesentlich allgemeiner wird der Sachverhalt in mathematischen Darstellungen der Vektoranalysis ausgeführt. Es sei stets ║ ║ ≔ ║ ║2, also die euklidische Norm, betrachtet.
Ein „reguläres Flächenstück“ wird über eine ‚Parameterdarstellung‘ wie folgt definiert: Es seien ℝ2 ⊃ K kompakt; der Rand ∂K von K sei (\(\mathfrak{C}\)) mit einer stetigen, stückweise glatten, geschlossenen, doppelpunktfreien Kurve \(\mathfrak{C}\). (K ist dann eine zwei-dimensionale Jordan-Menge.)
Für eine stetig differenzierbare Funktion Φ : K → ℝ3 mit
Man erklärt für solche Parameterdarstellungen Äquivalenz und definiert ein „reguläres Flächenstück“ als Klasse äquivalenter Parameterdarstellungen.
Zum Oberflächeninhalt eines solchen regulären Flächenstücks \({\mathfrak{F}}\) führt die aus der folgenden Skizze ersichtliche Idee:
Der Flächeninhalt einer solchen „Schuppe“ ist ungefähr
Aus der Lagrange-Identität (hier sei das Skalarprodukt mit einem Punkt bezeichnet)
(Hier stehen links die traditionellen – auf Gauß zurückgehenden – Bezeichnungen, rechts die moderne (‚Fundamentaltensor‘).)
Es sei als Beispiel die Oberfläche einer Kugel vom Radius r > 0 berechnet. Hier ist
(Die obigen Voraussetzungen sind, da cos ϑ = 0 für \(\vartheta =\pm \frac{\pi }{2}\), nicht auf dem ganzen Bereich gegeben! Man betrachtet geeignete Teilmengen und macht dann einen Grenzubergang.) Es folgt
Die Überlegungen zum Oberflächeninhalt motivieren nun, über Näherungssummen der Art
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