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Lexikon der Mathematik: Oberflächenintegral

das für eine auf dem Träger (\({\mathfrak{F}}\)) eines regulären Flächenstücks \({\mathfrak{F}}\) definierte reellwertige Funktion f durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \mathop{\iint }\limits_{{\mathfrak{F}}}f\,d\omega :=\displaystyle \mathop{\iint }\limits_{K}f\circ {\rm{\Phi }}(u,w)\,d\omega\end{array}\end{eqnarray} mit \begin{eqnarray}d\omega =\Vert {D}_{1}{\rm{\Phi }}(\,\,)\times {D}_{2}{\rm{\Phi }}(\,\,)\Vert \,d(u,v)\end{eqnarray} definierte Integral. Hierbei seien K eine geeignete kompakte Teilmenge des ℝ2 und Φ : K → ℝ3 eine Parameterdarstellung von \({\mathfrak{F}}\), also \begin{eqnarray}({\mathfrak{F}}):={\rm{\Phi }}(K).\end{eqnarray}

Dazu ist zunächst – analog zur Kurventheorie – der Inhalt geeigneter Flächen im ℝ3 zu definieren. Dies sei hier nur skizziert. Genauer und wesentlich allgemeiner wird der Sachverhalt in mathematischen Darstellungen der Vektoranalysis ausgeführt. Es sei stets ║ ║ ≔ ║ ║2, also die euklidische Norm, betrachtet.

Ein „reguläres Flächenstück“ wird über eine ‚Parameterdarstellung‘ wie folgt definiert: Es seien ℝ2K kompakt; der Rand ∂K von K sei (\(\mathfrak{C}\)) mit einer stetigen, stückweise glatten, geschlossenen, doppelpunktfreien Kurve \(\mathfrak{C}\). (K ist dann eine zwei-dimensionale Jordan-Menge.)

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Oberflächenintegral
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Reguläres Flächenstück

Für eine stetig differenzierbare Funktion Φ : K → ℝ3 mit \begin{eqnarray}{D}_{1}{\rm{\Phi }}(u,v)\times {D}_{2}{\rm{\Phi }}(u,v)\ne 0\end{eqnarray} für alle (u, v) ∈ K bezeichne \begin{eqnarray}{\mathfrak{n}}:={\mathfrak{n}}(u,v):=\frac{{D}_{1}{\rm{\Phi }}(u,v)\times {D}_{2}{\rm{\Phi }}(u,v)}{\Vert {D}_{1}{\rm{\Phi }}(u,v)\times {D}_{2}{\rm{\Phi }}(u,v)\Vert }\end{eqnarray} den zugehörigen orientierten Normaleneinheitsvektor.

Man erklärt für solche Parameterdarstellungen Äquivalenz und definiert ein „reguläres Flächenstück“ als Klasse äquivalenter Parameterdarstellungen.

Zum Oberflächeninhalt eines solchen regulären Flächenstücks \({\mathfrak{F}}\) führt die aus der folgenden Skizze ersichtliche Idee:

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Oberflächenintegral
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Zum Oberflächeninhalt

Der Flächeninhalt einer solchen „Schuppe“ ist ungefähr \begin{eqnarray}\Vert {D}_{1}{\rm{\Phi }}(u,v)\times {D}_{2}{\rm{\Phi }}(u,v)\Vert {\rm{\Delta }}u\,{\rm{\Delta }}v,\end{eqnarray} und dies führt zum Oberflächeninhalt ω: \begin{eqnarray}\omega ({\mathfrak{F}}):=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{K}\Vert {D}_{1}{\rm{\Phi }}(u,v)\times {D}_{2}{\rm{\Phi }}(u,v)\Vert \,d(u,v)\end{eqnarray} (für \({\rm{\Phi }}\in {\mathfrak{F}}\)).

Aus der Lagrange-Identität (hier sei das Skalarprodukt mit einem Punkt bezeichnet) \begin{eqnarray}({\mathfrak{a}}\times {\mathfrak{b}})\cdot ({\mathfrak{c}}\times {\mathfrak{d}})=({\mathfrak{a}}\cdot {\mathfrak{c}})({\mathfrak{b}}\cdot {\mathfrak{d}})-({\mathfrak{b}}\cdot {\mathfrak{c}})({\mathfrak{a}}\cdot {\mathfrak{d}}),\end{eqnarray} speziell also \begin{eqnarray}{\Vert {\mathfrak{a}}\times {\mathfrak{b}}\Vert }^{2}={{\mathfrak{a}}}^{2}{{\mathfrak{b}}}^{2}-{({\mathfrak{a}}\cdot {\mathfrak{b}})}^{2}\end{eqnarray} mit den üblichen Bezeichnungen \begin{eqnarray}{\mathfrak{x}}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right):={\rm{\Phi }}(u,v),\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{{\mathfrak{x}}}_{u}:=\left(\begin{array}{c}{x}_{u}\\ {y}_{u}\\ {z}_{u}\end{array}\right):={D}_{1}{\rm{\Phi }}(u,v),\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{{\mathfrak{x}}}_{v}=\left(\begin{array}{c}{x}_{v}\\ {y}_{v}\\ {z}_{v}\end{array}\right):={D}_{2}{\rm{\Phi }}(u,v)\end{eqnarray} ergibt sich: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\Vert {D}_{1}{\rm{\Phi }}(u,v)\times {D}_{2}{\rm{\Phi }}(u,v)\Vert & = & \sqrt{{{\mathfrak{r}}}_{u}^{2}{{\mathfrak{r}}}_{v}^{2}-{({{\mathfrak{r}}}_{u}\cdot {{\mathfrak{r}}}_{v})}^{2}}\\ & = & \sqrt{g}\end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}E:={{\mathfrak{r}}}_{u}^{2} & =:{g}_{11} & \\ G:={{\mathfrak{r}}}_{v}^{2} & =:{g}_{22} & g:=EG-{F}^{2}\\ F:={{\mathfrak{r}}}_{u}\cdot {{\mathfrak{r}}}_{v} & =:{g}_{12} & \end{array}\end{eqnarray}

(Hier stehen links die traditionellen – auf Gauß zurückgehenden – Bezeichnungen, rechts die moderne (‚Fundamentaltensor‘).)

Es sei als Beispiel die Oberfläche einer Kugel vom Radius r > 0 berechnet. Hier ist \begin{eqnarray}{\rm{\Phi }}(\vartheta,\varphi ):=\left(\begin{array}{c}r\cos \vartheta \cos \varphi \\ r\cos \vartheta \sin \varphi \\ r\sin \vartheta \end{array}\right)\,\,\,\,\,\,(\vartheta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}],\,\,\varphi \in [0,2\pi ])\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{{\mathfrak{r}}}_{\vartheta }=r(\begin{array}{c}-\sin \vartheta \cos \varphi \\ -\sin \vartheta \sin \varphi \\ \cos \vartheta \end{array}),{{\mathfrak{r}}}_{\varphi }=r(\begin{array}{c}-\cos \vartheta \sin \varphi \\ \cos \vartheta \cos \varphi \\ 0\end{array})\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{g}_{11}=E={r}^{2},{g}_{22}=G={r}^{2}{(\cos \vartheta )}^{2},{g}_{12}=F=0\\ \Vert {{\mathfrak{r}}}_{\vartheta }\times {{\mathfrak{r}}}_{\varphi }\Vert ={r}^{2}\cos \vartheta. \end{eqnarray}

(Die obigen Voraussetzungen sind, da cos ϑ = 0 für \(\vartheta =\pm \frac{\pi }{2}\), nicht auf dem ganzen Bereich gegeben! Man betrachtet geeignete Teilmengen und macht dann einen Grenzubergang.) Es folgt \begin{eqnarray}\omega ({\mathfrak{F}})=\displaystyle \underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{r}^{2}\cos \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =4\pi {r}^{2}.\end{eqnarray}

Die Überlegungen zum Oberflächeninhalt motivieren nun, über Näherungssummen der Art \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\text{endlich}}f({P}_{v})\omega ({{\mathfrak{F}}}_{v}),\end{eqnarray} die schon zu Beginn angegebene Definition (1).

Abbildung 3 zum Lexikonartikel Oberflächenintegral
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Oberflächenintegral

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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