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Lexikon der Mathematik: Oettli-Prager-Kriterium

Kriterium zur Charakterisierung der Lösungsmenge eines Intervall-Gleichungssystems.

Sind A, ∆ reelle (m × n)-Matrizen mit ∆ ≥ 0, und sind b, δ reelle m-komponentige Vektoren mit δ ≥ 0, so ist x genau dann Lösung eines linearen Gleichungssystems \begin{eqnarray}(A+E)x=b+e\end{eqnarray}mit \begin{eqnarray}|E|\le {\rm{\Delta }},\,\,|e|\le \delta,\end{eqnarray}wenn \begin{eqnarray}|b-Ax|\le {\rm{\Delta }}x+\delta \,\,\,\,({Oettli-Prager-Kriterium})\end{eqnarray}gilt. Dabei sind ‘ ≥’ und ‘ |·|’ komponentenweise zu verstehen.

Unter Verwendung der Intervallarithmetik und der Lösungsmenge S des zugrundeliegenden Intervallgleichungssystems \begin{eqnarray}[A-{\rm{\Delta }},\,A+{\rm{\Delta }}]x=[b-\delta,\,b+\delta ]\end{eqnarray} läßt sich das Oettli-Prager-Kriterium auch folgendermaßen formulieren: \begin{eqnarray}x\in S\iff [A-{\rm{\Delta }},\,A+{\rm{\Delta }}]x\cap [b-\delta,\,b+\delta ]\ne \varnothing. \end{eqnarray}

Das Kriterium kann in den nachstehenden Situationen verwendet werden, die auch als Mischform auftreten können, und in denen im Idealfall Ax = b gelten soll.

1) A und b unterliegen gewissen Schwankungen (Meßungenauigkeit, Einstellungsungenauigkeit bei einem Gerät, Konversionsfehler bei der Datenübertragung), von denen bekannt ist, daß sie gewisse Schranken ∆ bzw. δ nicht überschreiten. Einen Vektor \(\tilde{x}\) (z. B. aus einer Messung) kann man als akzeptabel für die gegebene Situation bezeichnen, wenn \(\tilde{x}\) dem Oettli-Prager-Kriterium genügt

2) A und b sind nicht toleranzbehaftet, anstelle von x ist aber nur eine Näherung \(\tilde{x}\) bekannt (z. B. aus einer Messung oder einer Rechnung mit Rundung, etwa in Maschinenarithmetik). Diese Näherung kann man als akzeptabel bezeichnen, wenn sie das Oettli-Prager-Kriterium bei vorgegebenen Toleranzen ∆, δ erfüllt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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