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Lexikon der Mathematik: Okasches Prinzip

wichtiges Prinzip in der Theorie der Steinschen Räume.

In reduzierten komplexen Räumen X ist die Strukturgarbe \({\mathcal{O}}\) eine Untergarbe der Garbe \({\mathcal{C}}\) der Keime der stetigen Funktionen. Man definiert in Analogie zu \({\mathcal{O}}\text{*}\) (hier ist \begin{eqnarray}{{\mathcal{O}}}^{* }=\displaystyle \mathop{\bigcup }\limits_{x\in X}{{\mathcal{O}}}_{x}^{* },\end{eqnarray} wobei \({{\mathcal{O}}}_{x}^{* }\) die Gruppe der Einheiten im Ring \({{\mathcal{O}}}_{x}\) sei) die Garbe \({\mathcal{C}}\text{*}\) der Keime der nirgends verschwindenden stetigen Funktionen; es gilt \({\mathcal{O}}\text{*}\subset {\mathcal{C}}\text{*}\). Dann erhält man wieder eine exakte Exponentialsequenz und ein kommutatives Diagramm \begin{eqnarray}\begin{array}{lllllllll}0 & \to & {\mathbb{Z}} & \to & {\mathcal{O}} & \to & {{\mathcal{O}}}^{* } & \to & 1\\ & & \parallel & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \to & {\mathbb{Z}} & \to & {\mathcal{C}} & \to & {{\mathcal{C}}}^{* } & \to & 1.\end{array}\end{eqnarray}

Hierzu gehört ein kommutatives Diagramm der exakten Kohomologiesequenzen \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\cdots \to {H}^{q}(X,{\mathcal{O}}) & \to & {H}^{q}(X,{{\mathcal{O}}}^{* })\to \\ \downarrow & & \downarrow \\ \cdots \to {H}^{q}(X,{\mathcal{C}}) & \to & {H}^{q}(X,{{\mathcal{C}}}^{* })\to \end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\to {H}^{q+1}(X,{\mathbb{Z}}) & \to & {H}^{q+1}(X,{\mathcal{O}})\to \cdots \\ \parallel & & \downarrow \\ \to {H}^{q+1}(X,{\mathbb{Z}}) & \to & {H}^{q+1}(X,{\mathcal{C}})\to \cdots. \end{array}\end{eqnarray}

Da die Garbe \({\mathcal{C}}\) weich ist, gilt \({H}^{i}(X,\,{\mathcal{C}})=0\) für alle i ≥ 1, daher folgt:

Es sei X ein reduzierter komplexer Raum, es sei q ≥ 1, und es gelte \begin{eqnarray}{H}^{q}(X,{\mathcal{O}})={H}^{q+1}(X,{\mathcal{O}})=0,\end{eqnarray}beispielsweise sei X Steinsch.

Dann induziert die Injektion \({\mathcal{O}}\text{*}\to {\mathcal{C}}\text{*}\)einen Isomorphismus \begin{eqnarray}{H}^{q}(X,{{\mathcal{O}}}^{* })\mathop{\to }\limits^{\sim }{H}^{q}(X,{{\mathcal{C}}}^{* }).\end{eqnarray}

Dies ist eine rudimentäre Form des wichtigen Okaschen Prinzips, das so beschrieben werden kann:

In einem reduzierten Steinschen Raum X haben holomorphe Probleme, die kohomologisch formulierbar sind, nur topologische Hindernisse; solche Probleme sind stets dann holomorph lösbar, wenn sie stetig lösbar sind.

[1] Grauert, H.; Remmert, R.: Theorie der Steinschen Räume. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1977.
[2] Kaup, B.; Kaup, L.: Holomorphic Functions of Several Variables. Walter de Gruyter Berlin New York, 1983.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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