Konvergenz einer Folge von Operatoren bzgl. einer lokalkonvexen Operatortopologie.

Man unterscheidet verschiedene Konvergenzbegriffe für Operatorfolgen. Seien T_n : X → Y stetige lineare Operatoren zwischen Banachräumen X und Y. Man spricht von Normkonvergenz oder Konvergenz bzgl. der Operatornorm von (T_n) gegen T, falls \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\Vert {T}_{n}-T\Vert =0,\end{eqnarray} wobei ║·║ die Operatornorm bezeichnet, von starker Operatorkonvergenz, falls \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\Vert {T}_{n}x-Tx\Vert =0\,\,\,\,\,\,\,\forall x\in X,\end{eqnarray} und von schwacher Operatorkonvergenz, falls \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{y}^{\prime}({T}_{n}x-Tx)=0\,\,\,\,\,\,\,\forall x\in X,\,{y}^{\prime}\in {Y}^{\prime}.\end{eqnarray}

Sind X und Y Hilberträume, kann man anstelle des letzteren nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz (Frechet-Riesz, Satz von) auch \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\langle {T}_{n}x-Tx,y\rangle =0\,\,\,\,\,\forall x\in X,\,\,y\in Y\end{eqnarray} schreiben.

Die starke (bzw. schwache) Operatorkonvergenz ist genau die Konvergenz bzgl. der starken (bzw. schwachen) Operatortopologie.

Die Normkonvergenz impliziert die starke Operatorkonvergenz, welche ihrerseits die schwache Operatorkonvergenz impliziert. Die drei Konvergenzbegriffe fallen auseinander, wie die folgenden Beispiele zeigen: Auf ℓ² betrachte den Linksshift \begin{eqnarray}L:({t}_{1},{t}_{2},\ldots )\mapsto ({t}_{2},{t}_{3},\ldots )\end{eqnarray} und den Rechtsshift \begin{eqnarray}R:({t}_{1},{t}_{2},\ldots )\mapsto (0,{t}_{1},{t}_{2},\ldots ).\end{eqnarray}

Dann ist Lⁿ → 0 stark operatorkonvergent, aber nicht normkonvergent; und es ist Rⁿ → 0 schwach operatorkonvergent, aber nicht stark operatorkonvergent.

[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press, 2. Auflage 1980.