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Lexikon der Mathematik: Optimierung

bezeichnet allgemein die Theorie zur Lösung von Problemen, bei denen man für eine sogenannte Zielfunktion f einen (globalen) Extremalpunkt sucht, sowie die Entwicklung und praktische Umsetzung von Lösungsverfahren.

Optimierungsprobleme und die damit zusammenhängende Lösungstheorie unterscheiden sich vielfach hinsichtlich der Struktur des Problems. Gemeinsam ist allen Aufgabenstellungen die Suche nach Extremalpunkten der Zielfunkion f, wobei auch lokale Extremalpunkte von Interesse sein können. Um den Begriff eines Extremalpunkts bzw. -wertes sinnvoll fassen zu können, muß der Wertebereich von f angeordnet sein. In vielen Fällen sind dies die reellen Zahlen oder Teilmengen davon (es gibt auch hier Ausnahmen, etwa bei der Optimierung vektorwertiger Funktionen).

Ein erstes wichtiges Strukturmerkmal ist die Frage nach dem Vorhandensein von Nebenbedingungen. Reine bzw. unrestringierte Optimierungsaufgaben fragen nach Extremalpunkten von f auf dem maximalen Definitionsbereich. Bei Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen wird die Menge der zum Vergleich der Zielfunktionswerte zugelassenen Argumente durch weitere Forderungen eingeschränkt. Beide Typen unterscheiden sich i. allg. wesentlich im Hinblick auf die verwendeten Lösungstechniken.

Ein weiteres Charakteristikum von Optimierungsproblemen ist die Frage nach der topologischen Beschaffenheit der Grundmenge, über der optimiert wird. Sucht man einen Extremalpunkt in einer endlichen bzw. abzählbaren Menge, so erhält man ein diskretes Optimierungsproblem. Lösungsstrategien sind dann häufig von kombinatorischer Struktur (kombinatorische Optimierung). Bei kontinuierlichen Grundmengen (wie etwa ℝn) erhält man i. allg. Probleme, die eher mittels analytischer Methoden behandelt werden. Dann kann beispielsweise die Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielen. Lösungsverfahren für kontinuierliche Probleme (mit oder ohne Nebenbedingungen) sind üblicherweise stark von der Differenzierbarkeitsstruktur der Zielfunktion und der Nebenbedingungen abhängig. Ebenso hat die spezielle Art dieser Funktionen einen erheblichen Einfluß auf das Problem. Typische Beispiele sind hier etwa konvexe Optimierungsaufgaben. Liegt gar keine Differenzierbarkeit vor, so gehört das Problem in den Bereich der nicht-differenzierbaren Optimierung. Häufig treten Optimierungsaufgaben in Familien auf, bei denen eine Teilmenge der Variablen die Rolle von Parametern spielt. Dies führt zur parametrischen Optimierung.

Alle obigen Unterscheidungsmerkmale (und andere mehr) liefern nur ein grobes Bild der Vielfalt von Optimierungsproblemen. Sie können ebenfalls gemischt in einem derartigen Problem auftreten. Als Synonym für den Terminus Optimierung hat sich vielfach auch der Begriff der Programmierung (lineare Programmierung, mathematische Programmierung) eingebürgert.

Ein Lexikon der Optimierung ist [1], ein regelmäßig aktualisiertes Glossar zur mathematischen Optimierung im World Wide Web ist [2].

[1] Bittner, L.; Elster, K.H.; Göpfert, A.; Nozicka, F.; Piehler, J.; Tichatschke, R. (Hrg.): Optimierung und optimale Steuerung: Lexikon der Optimierung. Akademie Verlag Berlin, 1986.
[2] Greenberg, H.: Mathematical Programming Glossary. World Wide Web, http://www.cudenver.edu/hgreenbe/glossary/glossary.html, 1996-99.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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