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Lexikon der Mathematik: Optional Sampling, Satz vom

folgender wichtiger von J.L. Doob gefundener Satz über die Erhaltung der Martingaleigenschaft, welcher dahingend interpretiert werden kann, daß sich der zu erwartende Gewinn bei einem gerechten Spiel durch die Wahl des Zeitpunkts, zu dem das Spiel beendet wird, nicht verändern läßt.

Es sei \(({\rm{\Omega }},{\mathfrak{A}},P)\)ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Xt)t∈[0,∞)ein rechtsstetiges Martingal bezüglich der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\)in \({\mathfrak{A}}\)Weiterhin sei (Tj)jJ, \(J\subseteq \,{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\), eine Familie von monoton wachsenden beschränkten Stoppzeiten bezüglich \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\in [0,\infty )}\)mit Werten in \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\).

Dann ist \({({X}_{{T}_{j}})}_{j\in J}\)ein Martingal bezüglich der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{{T}_{j}})}_{j\in J}\).

Dabei wird eine Familie (Tj)jJ von Stoppzeiten mit Werten in \({{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) als monoton wachsend bezeichnet, wenn für alle ω ∈ Ω und s, tJ aus st stets \begin{eqnarray}{T}_{s}(\omega )\le {T}_{t}(\omega )\end{eqnarray} folgt. Die Familie heißt beschränkt, falls eine Konstante α mit Ts (ω) ≤ α für alle ω ∈ Ω und alle sJ existiert. Die im Satz auftretenden Zufallsvariablen \({X}_{{T}_{j}}\), sind für alle jJ durch \begin{eqnarray}{X}_{{T}_{j}}:{\rm{\Omega }}\ni \omega \to {X}_{{T}_{j}(\omega )}(\omega )\in {\mathbb{R}},\end{eqnarray} und die σ-Algebren \({{\mathfrak{A}}}_{{T}_{j}}\), welche als σ-Algebren der Tj-Vergangenheit bzw. als σ-Algebren der Ereignisse bis zum Zeitpunkt Tj bezeichnet werden, durch \begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}_{{T}_{j}}=\displaystyle \mathop{\bigcap }\limits_{t\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}}\{A\in {{\mathfrak{A}}}_{\infty }:A\cap \{{T}_{j}\le t\}\in {{\mathfrak{A}}}_{t}\}\end{eqnarray} definiert, wobei \begin{eqnarray}{{\mathfrak{A}}}_{\infty }=\sigma \left(\displaystyle \mathop{\bigcup }\limits_{t\in {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}}{{\mathfrak{A}}}_{t}\right)\end{eqnarray} die von den \({{\mathfrak{A}}}_{t}\), \(t\in \,{{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) erzeugte σ-Algebra bezeichnet.

Der Satz vom Optional Sampling bleibt auch für Sub- bzw. Supermartingale gültig. Der Spezialfall des Satzes, bei dem die Stoppzeiten Tj ausgehend von einer beschränkten Stoppzeit T für alle jJ durch Tj ≔ min(T, j) definiert sind, wird als Optional Stopping bezeichnet. Abschwächungen der Voraussetzungen an die Stoppzeiten führen u.a. auf die Waldsche Identität.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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