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Lexikon der Mathematik: Ordnung in einem algebraischen Zahlkörper

Kenngröße eines (verallgemeinerten) Gitters.

Sind K ein algebraischer Zahlkörper und MK ein Gitter in K, so bezeichnet man nach Dedekind die Menge \begin{eqnarray}{\mathfrak{o}}(M):=\{\omega \in K:\omega M\subset M\}\end{eqnarray} als Ordnung des Gitters M in K. Ein Gitter in K ist dabei eine endlich erzeugte Untergruppe der additiven Gruppe (K, +), die eine ℚ-Basis des endlichdimensionalen ℚ-Vektorraums K enthält.

Die wichtigsten Grundtatsachen sind:

  1. Die Ordnung \({\mathfrak{o}}(M)\)eines Gitters M im algebraischen Zahlkörper K ist selbst ein Gitter und ein Unterring von K.
  2. Jedes Element \(\omega \in {\mathfrak{o}}(M)\)ist eine ganz-algebraische Zahl (ganz über ℤ).
  3. Die Menge \({{\mathfrak{o}}}_{K}\)aller überganzen Zahlen von K ist die bezüglich Inklusion größte Ordnung von K.

Wegen der letzten Aussage nennt man den Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers K auch Hauptordnung oder Maximalordnung von K.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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