Verallgemeinerungen der L^p-Räume (Funktionenräume).

Sei M : [0, ∞) → ℝ eine konvexe stetige streng monoton wachsende Funktion mit M(0) = 0. Der Orlicz-Raum L_M(μ) besteht aus allen Äquivalenzklassen meßbarer Funktionen f auf einem Maßraum \(({\rm{\Omega }},\,{\rm{\Sigma }},\,\mu )\), für die eine Zahl c > 0 existiert mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}M \left(\frac{|f(\omega )|}{c}\right)d\mu (\omega )\lt \infty.\end{array}\end{eqnarray}L_M(μ) ist ein Vektorraum, und der Ausdruck \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{M}=\inf \left\{c\gt 0:\displaystyle {\int }_{{\rm{\Omega }}}M\left(\frac{|f(\omega )|}{c}\right)\,d\mu (\omega )\le 1\right\}\end{eqnarray} definiert eine Norm auf L_M(μ), so daß L_M(μ) zu einem Banachraum wird. Für M(t) = t^p erhält man die L^p-Räume als Beispiele für Orlicz-Räume.

Von Bedeutung ist ferner der Unterraum H_M(μ) von L_M(μ), der aus allen f ∈ L_M(μ) besteht, für die (1) für alle c > 0 gilt. Wählt man ℕ mit dem zählenden Maß als Maßraum, so werden die zugehörigen Orlicz-Folgenräume mit ℓ_M und h_M bezeichnet.