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Lexikon der Mathematik: Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß

spezieller stochastischer Prozeß.

Ist (Bt)t≥0 eine auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\,{\mathfrak{A}},\,P)\) definierte (eindimensionale) normale Brownsche Bewegung und ξ eine auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definierte, von (Bt)t≥0 unabhängige reelle Zufallsvariable, so wird der für jedes α > 0 und σ > 0 durch \begin{eqnarray}{X}_{t}:={e}^{-\alpha t}\xi +\sigma \displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{-\alpha (t-s)}d{B}_{s}\end{eqnarray} für alle t ≥ 0 definierte stochastische Prozeß (Xt)t≥0 als Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß mit den Parametern α, σ und Anfangsbedingung ξ bezeichnet. Ist ξ mit Erwartungswert Null und Varianz σ2/2α normalverteilt, so ist (Xt)t≥0 ein stationärer zentrierter Gauß-Prozeß mit Kovarianzfunktion \begin{eqnarray}{\rm{\Gamma }}(s,t)=({\sigma }^{2}/2\alpha ){e}^{-\alpha |t-s|}.\end{eqnarray}

Der Ornstein-Uhlenbeck-Prozeß (Xt)t≥0 mit den Parametern α > 0, σ > 0 und Anfangsbedingung ξ löst die Langevin-Gleichung \begin{eqnarray}d{X}_{t}=-\alpha {X}_{t}\,dt+\sigma \,d{B}_{t,}\end{eqnarray} eine stochastische Differentialgleichung, welche ein einfaches idealisiertes Modell für die Geschwindigkeit eines sich mit Reibung in einer Flüssigkeit bewegenden Teilchens darstellt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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