Lexikon der Mathematik: orthogonale Matrix
eine reelle Matrix A, für die gilt:
Jede orthogonale (2 × 2)-Matrix ist von der Form
Eine reelle (n × n)-Matrix A ist genau dann orthogonal, wenn ihre Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) eine Orthonormalbasis des ℝn bilden (bzgl. des kanonischen Skalarprodukts), und ebenso genau dann, wenn die durch A vermittelte lineare Abbildung A : ℝn → ℝn; x ↦ Ax orthogonal ist.
Orthogonale Matrizen erhalten Skalarprodukt und Norm, d. h. ist A orthogonal, und sind v, v1 und v2 ∈ ℝn, so gilt
Eine lineare Abbildung zwischen zwei n-dimensionalen euklidischen Vektorräumen V und W ist genau dann orthogonal, wenn sie bezüglich zweier Orthonormalbasen von V und W durch eine orthogonale Matrix repräsentiert wird.
Orthogonale Matrizen haben stets Determinante +1 oder −1.
Mit A und B sind auch At, A−1 und AB orthogonal, die Menge aller orthogonalen (n × n)-Matrizen bildet also eine Untergruppe der Gruppe GL(n, ℝ) aller regulären reellen (n × n)-Matrizen, die mit O(n) bezeichnete orthogonale Gruppe. Die Matrizen A ∈ O(n) mit det A = 1 bilden eine Untergruppe von O(n), die mit SO(n) bezeichnete spezielle orthogonale Gruppe; Matrizen aus SO(n, ℝ) werden auch als eigentlich orthogonal bezeichnet.
Das komplexe Analogon zu den orthogonalen Matrizen sind die unitären Matrizen.
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