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Lexikon der Mathematik: orthogonale Summe von Hilberträumen

der folgendermaßen aus einer Familie Hi, iI, von Hilberträumen konstruierte Summenraum ⊕2Hi: Er besteht aus allen Funktionen \begin{eqnarray}x:I\to \displaystyle \mathop{\bigcup }\limits_{i\in I}{H}_{i}\end{eqnarray} mit x(i) ∈ Hi für alle i und \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i\in I}{\Vert x(i)\Vert }^{2}\lt \infty. \end{eqnarray}

Das Skalarprodukt in ⊕2Hi ist durch \begin{eqnarray}\langle x,y\rangle =\displaystyle \sum _{i\in I}\langle x(i),y(i)\rangle {H}_{i}\end{eqnarray} definiert.

Dann ist ⊕2Hi in der abgeleiteten Norm vollständig, also ein Hilbertraum. Ist I = ℕ und jedes Hi = ℂ, so ergibt sich ⊕2Hi = 2.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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