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Lexikon der Mathematik: orthogonale Zerlegung

Technik in der Wavelettheorie.

Hierbei geht man zunächst von einer Multiskalenanalyse {Vj}j∈ℤ des L2(ℝ) aus. Dabei werden der Raum \begin{eqnarray}{V}_{0}=\overline{\text{Span}\{\phi (\cdot -k)|k\in {\mathbb{Z}}\}}\end{eqnarray} von den ganzzahligen Translaten einer orthogonalen Skalierungsfunktion, und die Räume Vj durch die Translate der skalierten Funktionen φ(2j) aufgespannt. Die Schachtelung der Räume Vj, d.h. VjVj+1, gestattet die Betrachtung orthogonaler Komplemente Wj mit \begin{eqnarray}{W}_{j}\perp {V}_{j}\,\,\,\text{und}\,\,{W}_{j}\oplus {V}_{j}={V}_{j+1}.\end{eqnarray}

Zur Erzeugung des Komplementraums \begin{eqnarray}{W}_{0}=\overline{\text{Span}\{\phi (\cdot -k)|k\in {\mathbb{Z}}\}}\end{eqnarray} wird ein orthogonales Wavelet (z. B. Haar-Wavelet, Daubechies-Wavelet) benötigt, d. h., für ψ muß gelten ⟨ψ, ψ (· − k)⟩ = δ0k für k ∈ ℤ.

Wj wird durch W0 gewonnen, indem die Argumente der Funktion ψ mit 2j skaliert werden. Insgesamt ergibt sich so eine orthogonale Zerlegung \begin{eqnarray}\bar{\oplus {W}_{j}}={L}^{2}({\mathbb{R}}).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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