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Lexikon der Mathematik: orthogonales Funktionensystem bezüglich einer Gewichtsfunktion

ein spezielles orthogonales Funktionensystem.

Auf einer (Lebesgue-)meßbaren Menge Ω ∈ ℝn heißt die (Lebesgue-)meßbare und reellwertige Funktion r Gewichtsfunktion, falls r(x) ≥ 0 für fast alle x ∈ Ω, und \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}r(x)dx\gt 0.\end{eqnarray}

Es bezeichnet \({L}_{r}^{2}({\rm{\Omega }})\) den Raum der meßbaren Funktionen f mit \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}{|f|}^{2}r(x)dx\lt \infty \end{eqnarray} und innerem Produkt \begin{eqnarray}{\langle f,g\rangle }_{r}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}f(x)\bar{g}(x)r(x)dx\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,f,g\in {L}_{r}^{2}({\rm{\Omega }}).\end{eqnarray}

Ein endliches oder abzählbar unendliches Funktionensystem {Φi}iI heißt orthogonal bezüglich der Gewichtsfunktion r, falls \begin{eqnarray}{\Vert {{\rm{\Phi }}}_{i}\Vert }_{r}={\langle {{\rm{\Phi }}}_{i},{{\rm{\Phi }}}_{i}\rangle }_{r}^{1/2}\gt 0\end{eqnarray} für iI und ⟨Φi, Φjr = 0 für ij.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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