System von Funktionen in einem L²- Funktionenraum.

Für einen Maßraum \(W=({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}}\text{,}\,\mu )\) mit einer σ-Algebra \({\mathcal{A}}\) und einem Maß μ sei L²(Ω) der Raum aller quadratisch integrierbaren Funktionen mit innerem Produkt \begin{eqnarray}\langle f,g\rangle =\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}\overline{fg}d\mu \,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,f,g\in {L}^{2}({\rm{\Omega }}).\end{eqnarray}

Eine Menge {Φ_i}_i∈I in L²(Ω) mit einer höchstens abzählbaren Indexmenge I heißt orthogonales Funktionensystem, falls \begin{eqnarray}\Vert {{\rm{\Phi }}}_{i}\Vert ={\langle {{\rm{\Phi }}}_{i},{{\rm{\Phi }}}_{i}\rangle }^{1/2}\gt 0\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,\,i\in I\end{eqnarray} und ⟨Φ_i, Φ_j⟩ = 0 für i ≠ j ist. Gilt außerdem ∥Φ_i∥ = 1 für i ∈ I, so nennt man das System orthonormal.

Ein orthogonales Funktionensystem heißt vollständig, wenn sich jede Funktion f ∈ L²(Ω) auf eindeutige Weise als Summe \begin{eqnarray}f=\displaystyle \sum _{i\in I}{c}_{i}{{\rm{\Phi }}}_{i}\end{eqnarray} mit den (Fourier-)Koeffizienten \begin{eqnarray}{c}_{i}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{\Omega }}}f\overline{{{\rm{\Phi }}}_{i}}d\mu \end{eqnarray} darstellen läßt.