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Lexikon der Mathematik: orthogonales Komplement

die meist mit mit U (sprich: „U senkrecht“) bezeichnete Menge aller zu einem Unterraum UV eines euklidischen oder unitären Vektorraumes (V, ⟨ ·, · ⟩) orthogonalen Elemente. Es gilt also \begin{eqnarray}{U}^{\perp }:=\{v\in V|\langle v,u\rangle =0\,\,\forall u\in U\}.\end{eqnarray}

U ist dann selbst wieder ein Unterraum von V, der Orthogonalraum zu U.

Ist V endlich-dimensional, und sind U, U1 und U2 Unterräume von V, so ist V ist die direkte Summe von U und U : V = UU.

Weiterhin gelten folgende Regeln:

  • (U) = U;
  • \({({U}_{1}+{U}_{2})}^{\perp }={U}_{1}^{\perp }\cap {U}_{2}^{\perp }\);
  • \({({U}_{1}\cap {U}_{2})}^{\perp }={U}_{1}^{\perp }+{U}_{2}^{\perp }\).

Entsprechend definiert man auch für eine beliebige Teilmenge A von V das orthogonale Komplement A; es stimmt stets mit dem orthogonalen Komplement des von A aufgespannten Unterraumes überein.

Beispiel: Die Lösungsmenge L des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 ist gegeben durch das orthogonale Komplement des Zeilenraumes von A.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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