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Lexikon der Mathematik: Orthogonalisierung von Skalierungsfunktionen

Begriff aus der Wavelettheorie.

Erzeugt der Generator einer Multiskalenanalyse keine Orthonormalbasis des Grundraums V0, so kann die Basis {φ(·− k)\k ∈ ℤ} wie folgt orthogonalisiert werden. Vorausgesetzt werden φL2(ℝ) und die Existenz zweier Konstanten C1, C2 > 0 mit \begin{eqnarray}{C}_{1}\le \displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}}{|\hat{\phi }(\omega +2\pi k)|}^{2}\le {C}_{2}\end{eqnarray} (Riesz-Basis-Eigenschaft). Dann ist die Menge {Φ(xk)\k ∈ ℤ} mit \begin{eqnarray}\hat{{\rm{\Phi }}}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{\hat{{\rm{\Phi }}}(\omega )}{\sqrt{\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}}{|\hat{\phi }(\omega +2\pi k)|}^{2}}}\end{eqnarray} eine Orthonormalbasis von V0.

Ein Nachteil dieser Vorgehensweise ist, daß der neu definierte Generator Φ keinen kompakten Träger haben muß, auch wenn φ diese Eigenschaft hatte.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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