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Lexikon der Mathematik: Orthogonalisierung

Berechnung von orthogonalen Vektoren {q1, …, qn}, welche denselben Raum wie n gegebene linear unabhängige Vektoren {x1, …, xn}, xj ∈ ℝm, mn, aufspannen.

Man unterscheidet drei Orthogonalisierungsverfahren: Gram-Schmidt-Orthogonalisierung (Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren), die QR-Zerlegung nach Householder, sowie diejenige nach Givens. Jedes dieser Verfahren berechnet eine QR-Zerlegung der Matrix X = (x1, x2, …, xn) ∈ ℝm×n, d. h. \begin{eqnarray}X=QR,\end{eqnarray} wobei Q ∈ ℝm×m eine orthogonale Matrix, \begin{eqnarray}R=\left(\begin{array}{c}\hat{R}\\ 0\end{array}\right)\begin{array}{l}\}n\\ \}m-n\end{array}\end{eqnarray} und \(\hat{R}\in {{\mathbb{R}}}^{n\times n}\) eine obere Dreiecksmatrix ist.

Ist ein Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ ℝn×n zu lösen, so kann man die QR-Zerlegung von A berechnen und anschließend Rx = QTb per Rückwärtseinsetzen lösen, d. h. durch Auflösen der Gleichungen Rx = c, c = QTb, von hinten.

Häufig werden Orthogonalisierungsverfahren in der Ausgleichsrechnung und bei der Lösung von Eigenwertproblemen verwendet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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