Berechnung von orthogonalen Vektoren {q₁, …, q_n}, welche denselben Raum wie n gegebene linear unabhängige Vektoren {x₁, …, x_n}, x_j ∈ ℝ^m, m ≥ n, aufspannen.

Man unterscheidet drei Orthogonalisierungsverfahren: Gram-Schmidt-Orthogonalisierung (Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren), die QR-Zerlegung nach Householder, sowie diejenige nach Givens. Jedes dieser Verfahren berechnet eine QR-Zerlegung der Matrix X = (x₁, x₂, …, x_n) ∈ ℝ^m×n, d. h. \begin{eqnarray}X=QR,\end{eqnarray} wobei Q ∈ ℝ^m×m eine orthogonale Matrix, \begin{eqnarray}R=\left(\begin{array}{c}\hat{R}\\ 0\end{array}\right)\begin{array}{l}\}n\\ \}m-n\end{array}\end{eqnarray} und \(\hat{R}\in {{\mathbb{R}}}^{n\times n}\) eine obere Dreiecksmatrix ist.

Ist ein Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ ℝ^n×n zu lösen, so kann man die QR-Zerlegung von A berechnen und anschließend Rx = Q^Tb per Rückwärtseinsetzen lösen, d. h. durch Auflösen der Gleichungen Rx = c, c = Q^Tb, von hinten.

Häufig werden Orthogonalisierungsverfahren in der Ausgleichsrechnung und bei der Lösung von Eigenwertproblemen verwendet.